베르트랑의 역설 (확률): 두 판 사이의 차이
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베르트랑은 무엇을 무작위로 선택하는지 그 방법을 하나로 특정한다면 문제가 하나로 잘 정의된 해결법을 가지게 될 것이라고 주장하였다. 베르트랑이 제시한 3가지 정답은 서로 다른 선택 방법에 해당하며, 추가적인 정보가 없다면 다른 정답을 제치고 특정한 정답을 선호할 이유가 없으므로 위 문제는 고유한 하나의 정답이 없다고 보았다.<ref name="Marinoff">{{저널 인용 |last=Marinoff |first=L. |title=A resolution of Bertrand's paradox |journal=Philosophy of Science |volume=61 |year=1994 |pages=1–24 |doi=10.1086/289777}}</ref>
== 제인스의 "최대의 무지" 해결법 ==
[[에드윈 톰슨 제인스]]는 1973년 자신의 논문인 "우량 조건 문제"(The Well-Posed Problem)<ref name="Jaynes">{{저널 인용 |last=Jaynes |first=E. T. |title=The Well-Posed Problem |journal= Foundations of Physics |volume=3 |issue=4 |year=1973 |pages=477–493 |url=http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf |doi=10.1007/BF00709116|bibcode=1973FoPh....3..477J}}</ref>에서 "최대 무지" 원칙에 기반해 베르트랑의 역설을 구했다. 최대 무지 원칙이란 문제에서 설명하지 않은 추가 정보를 사용해서 풀어서는 안 된다는 원칙을 뜻한다. 제인스는 베르트랑이 처음 제시한 문제가 원의 위치나 크기를 전혀 명시하지 않았다고 지적하면서 명확하고 객관적인 정답은 원의 위치나 크기와는 전혀 "상관이 없어야" 한다고 주장하였다. 즉 문제의 정답은 원의 크기 변환이나 [[평행 이동]] 변환에 대해 [[불변량]]이어야 한다는 것이다.
예를 들어, 빨대를 멀리서 [[지름]]이 2인 원 위에 던지고 원 위에 걸쳐진 빨대 선을 현으로 변환해서 확률을 측정해본다고 가정하자. 그럼 지름이 2인 원 안에 지름이 더 작은 1의 원을 둔다고 가정한다면, 작은 원 안에 있는 현의 분포는 큰 원 안에 있는 현의 분포와 같아야 한다. 또한 평행 이동 변환에 대해서도 불변해야 하므로 작은 원이 큰 원 안 어디던지 이동하더라도 내부의 현 분포는 변하지 말아야 한다. 방법 3의 경우에는 두 변환에 대해 현의 밀도가 불변하지 않고 변한다는 사실을 볼 수 있는데, 아래 사진의 경우 작은 빨강 원 내부의 현 분포는 큰 원의 현 분포와 완전히 다르다.
[[파일:Bertrand3-translate ru.svg|280px|center|섬네일|방법 3대로 그린 현들 위에 작은 원(빨강)을 그린 모습.]]
방법 1에서도 현 밀도의 불균형이 발생하지만 눈으로 보이기에는 어렵다. 방법 2가 크기 변환과 평행 이동 둘 다에 대해서 불변하다. 방법 1은 평행 이동에 대해서만 불변하고 방법 3은 크기 변환에 대해서만 불변하다.
== 실제 실험에서 ==
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