연속 함수: 두 판 사이의 차이
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: 실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 <math>f:X\sub\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>가 주어져 있다고 하자. <math>a\in X</math>이고, <math>\{x_n\}</math>가 <math>a</math>로 수렴하는 <math>X</math>의 임의의 수열이라 하자. 즉, <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>이다. 이 때, 만일 <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)</math>를 만족할 때, <math>f</math>는 <math>a\in X</math>에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 <math>a\in X</math>에 대하여 위 조건이 만족된다면, <math>f</math>는 <math>X</math>전체에서 연속함수가 된다.
=== 엡실론-델타 정의 ===
극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.
[[실수]] 집합에서 정의되는 함수 ''f''와 정의역에 속하는 임의의 원소 ''c''가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 ''f''는 ''c''에서 연속이다.
: 임의의
다시 말해, 실수 집합의 부분집합 ''A''와 ''B''에 대해, ''f'': ''A''→''B''가 ''c''∈''A''에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ''ε'' > 0에 대해 ''x'' ∈ ''A''이고 |''x''-''c''| < ''δ''이면 항상 |''f''(''x'')-''f''(''c'')| < ''
[[엡실론]]-[[델타]] 정의는 [[오귀스탱 루이 코시]]가 처음으로 생각해 냈다.
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