당김 (미분기하학): 두 판 사이의 차이
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2009년 3월 23일 (월) 16:15 판
유클리드 공간에서 미분형식의 당김
f : Rn → Rm 를 미분가능한 함수라 하자. 이러한 함수가 주어지면 Rn 에서의 k-형식 ω 를 Rm 에서의 k-형식으로 바꾸는 f에 의해 유도된 함수 f * 를 생각할 수 있다.
여기서 p ∈ Rn, v1, …, vk ∈ Rnp (Rn 에서의 점 p 에서의 접공간), dfp : Rnp → Rmf(p) 는 점 p 에서 f 의 미분이다.
이는 변수의 치환과 동등하기 때문에 관습적으로 당김을 다음과 같이 쓰기도 한다.
성질
f : Rn → Rm, g : Rp → Rn 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 Rm 에서의 k-형식, γ : Rm → R 를 Rm 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.
- 여기서 α1, …, αk 가 Rm 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
- 여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
참고문헌
- Manfredo P. do Carmo. 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.