군의 작용: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
:<math>* : G \times X \rightarrow X </math>
가 있고, 함수의 상 *(''g'', ''x'') 를 ''gx'' 로 쓰자. 이 때, 다음의 두 조건
# 모든 ''x'' ∈ ''X'' 와 ''G'' 의 [[항등원]] ''e'' 에 대해 ''ex'' = ''x''
# 모든 ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub> ∈ ''G'' 와 ''x'' ∈ ''X'' 에 대해 (''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub>)''x'' = ''g''<sub>1</sub>(''g''<sub>2</sub>''x'')
이 성립하면 이 함수를 '''''G'' 의 ''X'' 에 대한 좌작용'''({{lang|en|left action of ''G'' on ''X''}})이라 하고, X를 '''좌 G-집합'''({{lang|en|left ''G''-set}})이라 하며, ''G'' 가 ''X'' 의 왼쪽에서 작용한다고 말한다.
마찬가지로, ''G'' 의 ''X'' 에 대한 우작용 또한 정의할 수 있다. 다음과 같은 함수
위의 정의로부터, g가 임의의 G의 원소일 때 X의 원소 x를 g·x로 보내는 함수는 X에서 X로의 전단사함수임을 알 수 있다. 따라서 작용이라는 것을 G에서 [[대칭군]] S<sub>X</sub>로의 [[군 준동형사상]]으로 정의해도 된다.▼
:<math>*' : X \times G \rightarrow X </math>
가 있고, 함수의 상 *'(''g'', ''x'') 를 ''xg'' 로 쓰자. 이 때, 다음의 두 조건
# 모든 ''x'' ∈ ''X'' 와 ''G'' 의 [[항등원]] ''e'' 에 대해 ''xe'' = ''x''
# 모든 ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub> ∈ ''G'' 와 ''x'' ∈ ''X'' 에 대해 ''x''(''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub>) = (''xg''<sub>1</sub>)''g''<sub>2</sub>
이 성립하면 이 함수를 '''''G'' 의 ''X'' 에 대한 우작용'''({{lang|en|right action of ''G'' on ''X''}})이라 하고, X를 '''우 G-집합'''({{lang|en|right ''G''-set}})이라 하며, ''G'' 가 ''X'' 의 왼쪽에서 작용한다고 말한다.
두 작용의 차이점은 단지 ''G'' 의 원소의 곱 ''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub> 가 ''X'' 에 작용하는 순서가 다르다는 점 뿐이다. 좌작용에선 ''g''<sub>2</sub> 가 먼저 작용하는 반면에 우작용에선 ''g''<sub>1</sub> 가 먼저 작용하게 된다.
임의의 우작용은 다음과 같은 방법을 통해 좌작용으로 쓸 수 있다. ''r'' 을 ''G'' 의 ''X'' 에 대한 우작용이라 하고 다음과 같은 함수
:<math>\begin{align}
l :& \;G \times X \rightarrow X \\
& \;(g, x) \mapsto r(x,g^{-1})
\end{align}</math>
를 정의하자. 이 때,
:<math>\begin{align}
l(e,x) & = r(x,e^{-1})\\
& = r(x,e) \\
& = x
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
l(gh,x) & = r(x,h^{-1}g^{-1}) \\
& = r(r(x,h^{-1}),g^{-1})\\
& = r(l(h,x),g^{-1})\\
& = l(g,l(h,x))
\end{align}</math>
이므로 ''l'' 은 ''G'' 의 ''X'' 에 대한 좌작용이 된다. 마찬가지로 임의의 좌작용 또한 우작용으로 쓸 수 있다. 따라서 앞으로는 둘을 구별하지 않고, 좌작용을 '''작용'''이라고 쓰고, 좌 ''G''-집합을 '''''G''-집합'''이라 쓰기로 하자.
▲위의 정의로부터,
== 작용의 종류 ==
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