"정의 가능한 수"의 두 판 사이의 차이

잔글
편집 요약 없음
잔글 (정의가능한 수을(를) 정의 가능한 수(으)로 옮김)
잔글
[[실수]] a가 '''집합론의 언어로 매개변수 없이 1차 정의가능하다정의 가능하다'''는 것은 [[집합론]]의 언어로 표현된 [[자유변수와 속박변수|1변수]] [[논리식]] φ가 존재하여, [[폰 노이만 우주]] V에서 이를 만족하는 실수가 a 뿐인 경우를 말한다.
 
이 글에서는 이를 짧게 줄여 '''정의가능한정의 가능한 수'''라 하겠다. 이는 편의를 위한 것일 뿐, 일반적으로 쓰이는 용어와는 다를 수 있다.
 
위의 정의는 집합론의 언어를 통해 표현할 수 없다는 것에 주의할 것.
 
== 성질 ==
정의가능한정의 가능한 수들의 집합은 [[체 (수학)|체]]를 이루며, 0, 1, π, e를 비롯해 [[수학 상수]] 글에 언급되는 모든 실수를 포함하고 있다. 또한 이 집합은 모든 [[유리수]]는 물론 모든 [[대수적 수]]를 포함하고 있으나, 모든 논리식의 집합이 [[가산집합]]이므로 모든 정의가능한 수의 집합도 가산집합이고, 따라서 대부분의 실수는 정의 불가능하다. (여기에서 "대부분"은 "대부분의 실수는 [[무리수]]이다"라고 할 때와 같은 의미이다. [[대각선 논법]]을 참고할 것.)
 
정의가능한정의 가능한 수들의 체는 [[완비]]가 아니다. 모든 실수는 [[수열|유리수열]]의 [[극한]]이므로, 정의 불가능한 수로 수렴하는 정의가능한정의 가능한 수들의 열이 존재하기 때문이다. 그러나 수열 자체가 (여기에 포함된 모든 열들을 하나의 논리식으로 정의할 수 있다는 의미에서) 정의가능할정의 가능할 경우, 이 수열의 극한은 언제나 정의가능한정의 가능한 수가 된다.
 
모든 [[계산 가능한 수]]는 정의가능하지만정의 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. [[0 샤프|0<sup>#</sup>]]를 비롯해, 정의가능하지만정의 가능하지만 계산 불가능한 수가 여럿 알려져 있기 때문이다.
 
==함께 같이 보기 ==
* [[계산 가능한 수]]
* [[작도 가능한 수]]
 
[[분류:집합론]]

편집

3,004