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가우스 분포에서의 예제 추가. 수식은 en과 통계책을 여기저기 참고함 |
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10번째 줄:
이때 <math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, <math>\mathcal{L}</math>은 다음과 같이 표현이 가능하다.
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \
또한, [[로그함수]]는 [[단조 증가]]하므로, <math>\mathcal{L}</math>에 로그를
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = \log \mathcal{L}(\theta) = \
== 예제: 가우스 분포 ==
[[평균]] <math>\mu</math>와 [[분산]] <math>\sigma^2</math>의 값을 모르는 [[가우스 분포]]에서 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 <math>\theta = (\mu, \sigma)</math>이다. 가우스 분포의 확률밀도함수가
:<math>f_{\mu, \sigma}(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
이고, <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>가 모두 독립이므로
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \prod_i f_{\mu, \sigma}(x_i) = \prod_i \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
양변에 로그를 띄우면
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{2} \log{2\pi} - n \log \sigma - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_i {(x_i - \mu)^2}</math>
가 된다. 식의 값을 최대로 만드는 모수를 찾기 위해, 양변을 <math>\mu</math>로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.
:<math>\frac{\partial}{\partial \mu} \mathcal{L}^*(\theta) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_i (x_i - \mu)</math>
:<math>= \frac{1}{\sigma^2} \sum_i x_i - n \mu</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 <math>\widehat \mu = (\sum_i x_i) / n</math>으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 <math>\sigma</math>로 편미분하면
:<math>\frac{\partial}{\partial \sigma} \mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3} \sum_i (x_i - \mu)^2</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 <math>\sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 / n</math>이 된다.
[[분류:추정 이론]]
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