"대수학의 기본 정리"의 두 판 사이의 차이

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특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다.
 
===증명===
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복소 다항식
을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.
 
===따름정리===
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대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 '''따름정리'''를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.
 
 
'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0</math> 인 점 <math> z_1</math>이 존재하므로
 
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)</math>
 
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)</math> 은 <math> (n-1) </math> 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.
 
===실계수 다항식의 경우===
'''실계수 <math>n\,</math> 차 다항식'''의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 포함하여고려할 경우 <math>n\,</math> 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 존재하는0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 <math>n\,</math> 개의 근을 갖지 않는다안을 수도 있다.
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실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 <math>2</math> 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 <math>a + bi\,</math>가 실계수 다항식의 복소근은근이면 항상이의 켤레로[[복소켤레]] 존재하는<math>a - bi\,</math>도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 그러므로, 이 때, 두 개의 복소계수 일차식은,일차식의 곱은
'''실계수 <math>n</math> 차 다항식'''의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 포함하여 <math>n</math> 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 유일하므로, 만약 허수부가 존재하는 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 <math>n</math> 개의 근을 갖지 않는다.
 
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 <math>2</math> 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 실계수 다항식의 복소근은 항상 켤레로 존재하는 성질 때문이다. 그러므로, 이 때, 두 개의 복소계수 일차식은,
:<math>(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = ((x - a) - bi)((x - a) + bi) = ((x - a)^2 + b^2)</math>
와 같이 되어(<math>a, b</math>는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.
 
'''(실계수 다항식의 근의 켤레성)'''
만일<math>z_0\,</math>가 실계수 다항식
:<math> p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0</math>
의 복소수 근이면 즉, <math> p(z_0)=0\,</math>이면 <math> p(\overline{z_0})=0\,</math>이다.
 
(증명)
:<math> p(\overline{z_0})=a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1}\overline{z_0}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0} +a_0 </math>
 
::<math> =\overline{a_n z_0^n} +\overline{ a_{n-1}z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0} +\overline{a_0} </math>
 
::<math> =\overline{a_n z_0^n + a_{n-1}z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0 +a_0} </math>
 
::<math> = \overline{p(z_0)} =0 </math>
 
 
 
이 켤레성은, 실계수 다항식은 허수부가 없으므로 복소켤레를 취해도 같은 꼴이 나옴을 이용하여, 실계수 다항식을 복소수체 위에서 <math>n</math> 개의 기약다항식의 곱으로 전개하고 복소켤레를 취한 후 복소켤레의 곱 성질을 이용하면 즉시 증명된다.
 
[[분류:추상대수학]]

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