|
:{| class="toccolours" width="80%" style="text-align:left"
! 달랑베르의 원리로부터 라그랑주 방정식의 유도 <ref>문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 72-6쪽.</ref>
|-
|[[달랑베르의 원리]]로부터 시작하자. 달랑베르의 원리는 다음과 같다.
:<math>\delta W = \sum_{i=1}^{3N} (F_i -\dot{p}_i) \delta x_i = 0</math>
여기서
: i : 계를 기술하는 좌표를 나타내는 지표
: F<sub>i</sub> : 외부 힘의 i번째 성분
: p<sub>i</sub> : [[운동량]]의 i번째 성분
: δx<sub>i</sub> : [[가상 변위]]의 i번째 성분
: δW : 구속력이 한 일
: N : 계의 입자 수
이다. 이를 [[일반화 좌표]]로 바꾸어 보자. 먼저 외부 힘 F<sub>i</sub> 에 의한 일
:<math> \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x_i </math>
을 일반화 좌표로 바꾸자.
:<math> \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x_i = \sum_{i=1}^{3N} F_i \left( \sum_{\sigma=1}^{3N-k}{\partial x_i \over \partial q_\sigma} \delta q_\sigma \right) = \sum_{\sigma=1}^{3N-k} \left( \sum_{i=1}^{3N} F_i {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right) \delta q_\sigma </math>
여기서 [[일반화 힘]] Q<sub>σ</sub>을
:<math>Q_\sigma = \sum_{i=1}^{3N} F_i {\partial x_i \over \partial q_\sigma}</math>
로 정의하면 외부 힘 '''F'''<sub>i</sub> 에 의한 일은 다음과 같이 일반화 좌표로 표현된다.
:<math>\sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x_i = \sum_{\sigma=1}^{3N-k} Q_\sigma \delta q_\sigma</math>
마찬가지로, p<sub>i</sub>에 의한 힘으로 인한 일을 일반화 좌표로 바꾸어 보자.
:<math>\sum_{i=1}^{3N} \dot{p_i} \delta x_i = \sum_{i=1}^{3N} m_i \ddot{x_i} \delta x_i
= \sum_{\sigma=1}^{3N-k} \left( \sum_{i=1}^{3N} m_i \ddot{x_i} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right) \delta q_\sigma</math>
시간 미분에 대해 [[곱셈법칙]]을 적용해 식을 변형시키면
:<math>\sum_{i=1}^{3N} m_i \ddot{x_i} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} = \sum_{i=1}^{3N} m_i \left[ {d \over dt} \left( \dot{x_i} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right) - \dot{x_i} {d \over dt} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right] </math>
이 된다. 입자의 속도도 마저 일반화 좌표로 고치자.
:<math> \dot x_i \equiv {dx_i \over dt} = \sum_{\sigma=1}^{3N-k} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \dot{q}_\sigma + {\partial x_i \over \partial t}, \qquad i = 1, \; \cdots, \; 3N </math>
위 식에서 보면 양변을 일반화 속도로 미분하면,
:<math>{\partial \dot{x}_i \over \partial \dot{q}_\sigma} ={\partial x_i \over \partial q_\sigma} </math>
임을 알 수 있다. 이를 이용하면
:<math>\sum_{i=1}^{3N} m_i {d \over dt} \left( \dot{x}_i {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right)
= \sum_{i=1}^{3N} m_i {d \over dt} \left( \dot{x}_i {\partial \dot{x}_i \over \partial \dot{q}_\sigma} \right)
= {d \over dt} \left[ {\partial \over \partial \dot{q}_\sigma} \left( \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x}_i^2 \right) \right]
= {d \over dt} {\partial T \over \partial \dot{q}_\sigma}
</math>
이 된다. 위에서 T는 시스템의 전체 운동에너지를 나타낸다.
:<math>T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x}_i^2</math>
마찬가지로,
:<math>{d \over dt} {\partial x_i \over \partial q_\sigma } = {\partial \over \partial q_\sigma } {d x_i \over dt} = {\partial \dot{x}_i \over \partial q_\sigma } </math>
를 이용하면,
:<math>\sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x}_i {d \over dt} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} = \sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x}_i {\partial \dot{x}_i \over \partial q_\sigma }
={\partial \over \partial q_\sigma } \left( \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x}_i^2 \right) = {\partial T \over \partial q_\sigma } </math>
을 얻는다. 이를 종합하면, p<sub>i</sub>에 의한 힘으로 인한 일의 일반화 좌표에서의 형태는
:<math>\sum_{i=1}^{3N} \dot{p_i} \delta x_i
= \sum_{\sigma=1}^{3N-k} \left( \sum_{i=1}^{3N} m_i \left[ {d \over dt} \left( \dot{x_i} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right) - \dot{x_i} {d \over dt} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} \right] \right) \delta q_\sigma
= \sum_{\sigma=1}^{3N-k} \left( {d \over dt} {\partial T \over \partial \dot{q}_\sigma} - {\partial T \over \partial q_\sigma } \right) \delta q_\sigma
</math>
이다. 위 결과를 종합해, 달랑베르의 원리를 일반화 좌표에서 표현해보면 다음을 얻는다.
:<math>\sum_{i=1}^{3N} (F_i -\dot{p}_i) \delta x_i = - \sum_{\sigma=1}^{3N-k} \left(-Q_\sigma + {d \over dt} {\partial T \over \partial \dot{q}_\sigma} - {\partial T \over \partial q_\sigma } \right) \delta q_\sigma = 0</math>
그런데 일반화 좌표는 서로 다른 변위끼리는 독립적이므로, 위 식은
:<math>{d \over dt} {\partial T \over \partial \dot{q}_\sigma} - {\partial T \over \partial q_\sigma } = Q_\sigma \qquad \sigma = 1, \; \cdots , \; 3N-k</math>
이 된다. 이를 라그랑주 방정식이라 한다.
| 