연분수: 두 판 사이의 차이
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'''연분수'''
▲:<math>x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3}}} </math>
식에서 a<sub>0</sub> 은 정수, 나머지 a<sub>n</sub> 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수는 x = [a<sub>0</sub>; a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>]로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 [a<sub>0</sub>; a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>] 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, '''무한 연분수'''를 다음과 같이 [[극한]]을 이용하여 정의할 수도 있다.
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예를 들어, 원주율 파이의 근사분수들을 계산해 보자. 먼저 a<sub>0</sub> = [π] = 3 ( [x] 는 x보다 작은 최대 정수)를 얻는다. 이어, u<sub>1</sub> = 1/(π - 3) ≈ 113/16 = 7.0625 로, a<sub>1</sub> = [u<sub>1</sub>] = 7 로 정의하고, 이어 u<sub>2</sub> = 1/(u<sub>1</sub> - 7) ≈ 31993/2000 = 15.9965 , a<sub>2</sub> = [u<sub>2</sub>] = 15, u<sub>3</sub> = 1/(u<sub>3</sub> - 15) ≈ 1003/1000 = 1.003 이런 식으로 계속 나간다. 이를 반복하면, 무한 연분수 π as [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]를 얻는다. π의 세번째 근사분수 는 [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.14159292035... 이며,이는 실제 π 값에 매우 가까운 값이다.
[[분류:수학]]
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