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1번째 줄: '''유리함수'''(Rational function)란 [[유리식]]으로 표현된 함수, 즉, 두 다항식의 분수로 표현된 함수를 말한다. ~~{{토막글 미만}}~~ ~~'''유리함수'''란 함수 <math>f(x)</math>가 <math>x</math>에 대한 [[유리식]]으로 표현되는 함수를 말한다.~~ == 정의 == ~~유리함수에는 다항함수와 분수함수가 있고, 분수함수의 표준형은 y=k/x-p + q 인데, 이는 y=k/x의 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동함을 말한다.~~ [[Image:RationalDegree2byXedi.gif\|thumb\|right\|250px\|2차 유리함수의 그래프 : <br> <math>y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]] ~~{{토막글\|수학}}~~ 변수 <math>x</math>에 대해 유리식은 다음과 같은 형태를 가진다. [[분류:수학]]▼ :<math> f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} </math> 여기서 <math>P(x), Q(x)</math>는 모두 다항식이 되고, 특히 <math>Q</math>는 영함수가 아니다. 마찬가지로 변수 <math>x</math>도 분모가 영이 되는 값을 취하지 못한다. == 예 == [[Image:RationalDegree3byXedi.gif\|thumb\|right\|250px\|3차 유리함수의 그래프 : <br><math>y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>]] 유리함수 <math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>는 <math>x^2=5 \leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}</math>에서 값이 정의되지 않는다. 유리함수 <math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다. 유리함수 <math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>는 <math>x</math>가 무한히 커지면 <math>\frac{x}{2}</math>에 접근한다. == 테일러 급수 == 유리함수를 [[테일러 급수]](Taylor series)로 표현했을 때, [[동류항 정리]]를 통해 [[점화식\|일차 점화식]](linear recurrence relation)으로 표현가능하다. 예를 들어 다음 유리식을 테일러 급수로 표현했다고 가정하자. :<math>\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math> 양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다. :<math>1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math> :<math>1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math> 그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다. :<math>1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math> 결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개 했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수도 있다. :<math>a_0 = \frac{1}{2}, a_1 = \frac{1}{4}</math> :<math>a_{k} = \frac{1}{2} (a_{k-1} - a_{k-2})\quad for\ k \ge 2.</math> ▲[[분류:수학대수학]] [[cs:Racionální funkce]] [[de:Rationale Funktion]] [[el:Ρητή συνάρτηση]] [[en:Rational function]] [[es:Función racional]] [[fr:Fonction rationnelle]] [[is:Rætt fall]] [[it:Funzione razionale]] [[lb:Rational Funktioun]] [[hu:Racionális törtfüggvény]] [[nl:Rationale functie]] [[ja:有理関数]] [[no:Rasjonal funksjon]] [[pl:Funkcja wymierna]] [[pt:Função racional]] [[ru:Рациональная функция]] [[sk:Racionálna funkcia]] [[sl:Racionalna funkcija]] [[sr:Рационална функција]] [[sv:Rationell funktion]] [[uk:Раціональна функція]] [[zh:有理函數]]

유리 함수: 두 판 사이의 차이