대칭군 (군론): 두 판 사이의 차이
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특별히 중요하게 다루어지는 것은 [[유한 집합]] <math>X = \{1, \cdots, n\}</math>의 경우이다. 이 집합의 대칭군 <math>S_X = S_{\{1, \cdots, n\}}</math>를 간단히 <math>S_n</math>으로 표기한다. <math>S_n</math>의 원소들을 <math>X</math>의 [[치환]]이라 하는데, <math>S_n</math>에는 총 <math>n!</math>개의 치환이 포함되어있다. <math>S_n</math>은 <math>n \leq 2</math>일 때에만 [[아벨 군]]이다.
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집합 {1,2,3,4,5} 상의 치환으로서 1을 2로, 2를 5로, 3을 3으로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 다음과 같이 표시한다:
: <math> f =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix}. </math>
만약 집합 {1,2,3,4,5}에 이 치환을 여러 차례 연달아 적용한다면, 1은 2로 간 뒤 5로 갔다가 4을 거쳐 다시 1로 돌아오며, 이 과정에서 1이 거쳐가는 원소들(1,2,5,4)을 제외한 나머지 원소(3)는 전혀 움직이지 않는 것을 알 수 있다. 이와 같이 한 원소에서 출발해 치환에 의해 움직이는 모든 원소를 전부 거쳐올 수 있는 치환을 '''순환치환'''(cycle)이라 한다. 위의 순환치환은 간단히 (1 2 5 4)로 표시할 수 있다. 이 순환치환은 총 4개의 원소를 거치므로 이를 '길이 4의
이제 아래의 두 치환을 생각해 보자:
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집합 {1,2,3,4,5}에 h를 적용한 뒤 g를 적용하면, 1은 2로 갔다가 2에 도착하고, 2는 5로 갔다가 4로 도착할 것이다. 이와 같은 식으로 나머지도 계산해서 다음의 결과를 얻는다:
: <math> gh = g\circ h = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix}. </math>
일반적으로 길이 L = mn의 순환치환을 m승 하면
: <math> (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6).</math>
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