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수학에서 '''윌슨의 정리''' (Wilson's Theorem)은는 1보다 큰 소수 '''<math>p'''</math>에 대해서
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>
이 성립한다는 [[정수론]]의 정리이다.
이 정리는 영국의 수학자 [[에드워드 워링]]의 학생이었던 [[존 윌슨 (수학자)|존 윌슨]]이 처음 발견하였고, 워링은 이 정리를 증명없이 1770년에 발표하였다. 이 정리를 최초로 증명해 낸 것은 1773년 [[라그랑주]]에 의해서였다. 한 세기 이전에 [[고트프리트 라이프니츠]] 또한 이 정리를 알고 있었다는 증거가 있으나 그는 이 사실을 발표하지 않았다.
== 증명 ==
=== 첫번째 증명 ===
만약 ''p''가 3 이상의 소수이면, ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''')<sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} 은 ''p''에 대한 곱셈 연산 군을 이룬다. 이것은 ''G''의 임의의 원소 ''i''에 대하여, ''ij'' ≡ 1 (mod ''p'') 이 성립하는 역원 ''j''가 존재한다는 것이다.
역을 증명해보자. 합성수 ''n''이 윌슨의 정리를 만족한다고 할 때, ''n''의 약수이고 1과 ''n'' 사이의 정수 ''d''가 존재한다. 그러면 ''d''는 (''n'' − 1)!의 약수이고, 그리고 가정에 의해 ''d''는 (''n'' − 1)! + 1의 약수이다, 그러면 ''d''는 1의 약수가 되고, 이는 처음과 모순된다.
<!----
=== Second proof ===
Here is another proof of the first direction: Suppose ''p'' is an odd prime. Consider the polynomial
:<math>g(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-(p-1))</math>
Recall that if ''f''(''x'') is a nonzero polynomial of degree ''d'' over a [[field (mathematics)|field]] ''F'', then ''f''(''x'') has at most ''d'' roots over ''F''. Now, with ''g''(''x'') as above, consider the polynomial
:<math>f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)</math>
Since the leading coefficients cancel, we see that ''f''(''x'') is a polynomial of degree ''p'' − 2. Reducing mod ''p'', we see that ''f''(''x'') has at most ''p'' − 2 roots mod ''p''. But by [[Fermat's little theorem|Fermat's theorem]], each of the elements 1,2,...,''p'' − 1 is a root of ''f''(''x''). This is impossible, unless ''f''(''x'') is identically zero mod ''p'', i.e. unless each coefficient of ''f''(''x'') is divisible by ''p''.
But since ''p'' is odd, the constant term of ''f''(''x'') is just (''p'' − 1)! + 1, and the result follows.
== Applications ==
Wilson's theorem is useless as a [[primality test]], since computing (''n'' − 1)! is difficult for large ''n''.
Using Wilson's Theorem, we have for any prime ''p'':
:<math>1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>
:<math>1\cdot(p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv\ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>
where ''p'' = 2''m'' + 1. This becomes:
:<math>\prod_{j=1}^m\ j^2\ \equiv(-1)^{m+1}\ (\mbox{mod}\ p)</math>
And so primality is determined by the [[quadratic residue]]s of ''p''. We can use this fact to prove part of a famous result: −1 is a square (quadratic residue) mod ''p'' if ''p'' ≡ 1 (mod 4). For suppose ''p'' = 4''k'' + 1 for some integer ''k''. Then we can take ''m'' = 2''k'' above, and we conclude that
:<math>\left( \prod_{j=1}^{2k}\ j \right)^{2} = \prod_{j=1}^{2k}\ j^2\ \equiv (-1)^{2k+1}\ = -1(\mbox{mod}\ p)</math>
-->
== 일반화 ==
''n'' = 4일 경우는 예외이다. ( 3! = 2 (mod 4) ).
<!----
In fact if ''q'' is a prime factor of''n'', so that 'n'' = ''qa'', the numbers
:1, 2, ..., ''n'' − 1
include ''a'' − 1 multiples of ''q''. Therefore the power of ''q'' dividing the factorial is at least ''n/q'' − 1; and the power dividing ''n'' at most
:log ''n''/log ''q''.
The required inequality
:log ''n''/log ''q'' ≤ ''n/q'' − 1
does hold in general, except for the case ''q'' = 2 and ''n'' = 4.
-->
{{번역중|영어}}
[[분류:수론|*]]
[[분류:수학 정리]]
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