로런츠 군: 두 판 사이의 차이
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이 있다. 때문에 로렌츠 군의 변환들은 자연의 법칙들이 가져야 할 기본적인 대칭성으로 받아들여지고 있다.
== 로렌츠 군의 정의 ==
로렌츠 군의 정의는 민코스프키 공간의 원점을 변화시키기 않는 등거리변환을 모두 모아놓은 군이다. 즉, 선형변환
:<math> \Lambda : x^\mu \mapsto x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu </math>
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가 변하지 않고 원점이 변하지 않는 변환을 모아놓은 군이다. 로렌츠 군의 원소들은 [[직교행렬]], 즉, Λ<sup>-1</sup> = Λ<sup>T</sup> 이고, 계량텐서 ''η''<sub>''μν''</sub> 의 부호가 (+,-,-,-) 이기 때문에 [[직교군]] O(1,3) 라 부르기도 한다.
로렌츠 군은 군이면서 매끄러운 [[다양체]]이기도 때문에, [[리 군]]의 일종이기도 하다.
== 연결성분과 제한된 로렌츠 군 ==
로렌츠 군은 총 네 개의 [[연결성분|연결공간]]을 갖는다. 즉, 위상수학적으로 서로 분리된 군의 네 부분들을 생각해 볼 수 있다. 간단히 살펴 보면, 로렌츠 군에 속하는 원소들은 다음의 조건에 따라 분류할 수 있다.
* 시간을 역전시키는가?
* 공간의 방향이 유지되는가?
여기서, 시간이 역전되지 않는 변환을 정시적({{lang|en|orthochronous}})이라고 하고, 방향이 유지되는, 즉 det Λ = 1 인 변환을 고유({{lang|en|proper}})하다고 한다.
군의 [[항등원]]은 정시적이며 고유한 연결성분에 들어있으며, 시간이 역전되지 않고 방향이 유지되는 변환들이 모두 포함되어 있다. 이 또한 [[부분군]]을 이루며 리 군이다. 이 연결성분을 정시적고유로렌츠 군 또는 제한된 로렌츠 군({{lang|en|restricted Lorentz group}})이라 하며 SO<sup>+</sup>(1,3)라 쓴다. 경우에 따라선 로렌츠 군을 말할때 제한된 로렌츠 군을 가리키기도 한다. 또한 제한된 로렌츠 군은 로렌츠군의 [[정규부분군]]이기도 하다.
제한된 로렌츠 군에 대한 로렌츠 군의 [[몫군]] O(1,3)/SO<sup>+</sup>(1,3)은 [[공간반전]] P 와 [[시간역전]] T 로 구성되어 있으며, <nowiki>{1, P, T, PT}</nowiki> 의 네 가지 원소를 가지고 있다. 이 몫군은 [[클라인 4원군]]과 [[동형]]이다.
{{토막글|대수학}}
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