군의 표현: 두 판 사이의 차이

'''군 표현론'''({{lang|en|group representation theory}}), 줄여서 '''표현론'''은 [[군 (수학)|군]]을 [[벡터공간]]의 [[선형변환]]으로 표현해 그 성질을 알아보려 하는 [[수학]]의 분야이다. 표현론을 이용하면 [[군론]]의 문제를 수학자들이 매우 잘 이해하고 있는 [[선형대수학]]의 문제로 환원할 수 있다. 또한 [[물리학]]에서도 물리적 계의 [[대칭군]]과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 표현론을 사용한다.

<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고 <math>V</math>가''G'' 의 [[체 (수학)|체]] <math>''K</math>'' 상의 [[벡터공간]]이라 하자. 이때 ''V''<math>G</math>의 <math>V</math>에 대한 표현표현은 ''G''은 <math>G</math>에서 <math>[[일반선형군]] GL(''V'')</math> 로의 [[군 준동형사상]]을 말한다(여기에서 <math>GL(V)</math>는 <math>V</math> 상의 [[일반선형군]]이다.). 즉, 이는표현이란 다음의 [[사상 (수학)|사상]] <math>\rho \colon G \to GL(V) \,\!</math>로서 임의의 <math>G</math>의 원소 <math>g_1</math>과 <math>g_2</math>에 대해 <math>\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2) \!</math>을 만족하는 경우이다.

여기에서여기서, <math>''V</math>'' 를 '''표현공간'''({{lang|en|representation space}})이라 하고, <math>''V</math>'' 의 [[벡터공간의 차원|차원]]을 이 표현의 '''차원'''이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, <math>''G</math>'' 에서 <math>GL(''V'')</math> 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 <math>''V</math>'' 를 <math>''G</math>'' 의 표현이라 부르기도 한다.

<math>''V</math>'' 가 유한차원일유한한 차원 ''n'' 일 때에는 <math>''V</math>'' 의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 <math>GL(''V'')</math> 를 <math>''K</math>'' 상의 <math>''n</math>행 <math>''×''n</math>열'' [[가역행렬]](<math>n</math>은 <math>V</math>의 차원)들의 군 <math>GL(''n'', ''K'')</math> 와 동일시하는 것이 일반적이다.

<math>''G</math>'' 가 [[위상군]]이고 <math>''V</math>'' 가 [[위상벡터공간]]일 경우, <math>''G</math>'' 의 <math>''V</math>'' 에 대한 표현 <math>\rho</math>''D'' 가 '''연속 표현'''이라는 것은 <math>\Phi(g,v){{lang|en|continuous = \rho(grepresentation}}).v</math>로 정의된 함수이라는 <math>\Phi:\,G\times V \to V</math>가 [[연속함수 (위상수학)|연속]]인 경우를것은 말한다.

<math>''G</math>'' 의 표현 <math>\rho</math>의 ''D'' 의 [[핵]]은 ''D''(kernel)은 <math>\rho</math>로 보낸 상이 항등변환이 되는 원소들로 이루어진 <math>''G</math>'' 의 정규부분군으로[[정규부분군]]으로 정의한ssssssss다정의한다: