르베그 적분: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
일단 정의만 추가. '설명'을 추가해야 함 |
잔글 →정의 |
||
12번째 줄:
<math>f</math>가 표시함수들의 [[선형결합]] <math>f = \sum_k a_k 1_{S_k}</math>(단, <math>a_k \ge 0</math>)일 경우, 즉 음수값을 갖지 않는 [[단순함수]]일 경우, <math>\int f d\mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k} d\mu</math>로 정의한다.
다음으로 <math>f</math>가 음수값을 갖지 않는 경우를 정의한다. 음수값을 갖지 않는 단순함수의 집합을 <math>S</math>라고 한다면, <math>\int f d\mu = \sup \{ \int s d\mu: 0 \le s \le f, s \in S \}</math>로
만약 위의 경우에 대해서 적분값이 정의되지 않는다면 <math>f</math>는 '''적분불가능한 함수'''로 정의한다.
마지막으로 <math>f</math>가 음수값을 가질 수 있는 경우는 다음과 같이 정의한다. <math>f^+ = 1_{[f \ge 0]} f</math>, <math>f^- = - 1_{[f < 0]} f</math>으로 정의한다면 <math>f = f^+ - f^-</math>가 성립한다. 또한, <math>f^+</math>와 <math>f^-</math>는 모두 음수값을 갖지 않기 때문에 두 함수에 대한 적분을 앞의 정의를 사용하여 구할 수 있다. 만약 <math>|f| = f^+ + f^-</math>가 적분가능하다면, <math>\int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu</math>로 정의한다.▼
▲마지막으로 <math>f</math>가 음수값을 가질 수 있는 경우는 다음과 같이 정의한다. <math>f^+ = 1_{[f \ge 0]} f</math>, <math>f^- = - 1_{[f < 0]} f</math>으로 정의한다면 <math>f = f^+ - f^-</math>가 성립한다. 또한, <math>f^+</math>
적분 영역이 전체집합이 아닐 경우에 대해서는 <math>\int_A f d\mu = \int 1_A f d\mu</math>로 정의한다.
| |||