주다발: 두 판 사이의 차이
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* 모든 <math>g\in G</math>, <math>x\in B</math>에 대하여 <math>G_x\cdot g=G_x</math>
* <math>G_x\times G\to G_x</math>는 자유롭고 추이적인({{lang|en|transitive}}) 작용을 이룸
==주다발의 미분기하학==
미분기하학에서 다루는 주다발은 주로 밑이 [[매끈한 함수|매끈한]] [[미분다양체]] <math>M</math>이고 올이 [[리군]] <math>G</math>인 주다발이다. '''접속'''({{llang|en|connexion}}) <math>\omega</math>는 [[리대수]] <math>\mathfrak g</math>값을 가진 1-[[미분형식|형식]]이다. 이를 이용하여 <math>G</math>가 작용하는 임의의 벡터다발에 대하여 [[평행수송]]({{lang|en|parallel transport}})을 정의할 수 있다.
접속의 '''곡률'''({{llang|en|curvature}}) <math>\Omega</math>는 다음과 같이 정의한다.
:<math>\Omega=d\omega+\frac12[\omega\wedge\omega]</math>
여기서 <math>[\cdot\wedge\cdot]</math>는 리대수의 괄호와 외적을 결합한 연산으로, <math>[\alpha\otimes x\wedge\beta\otimes y]=(\alpha\wedge\beta)\otimes[x,y]</math>와 같이 정의한다.
[[(유사) 리만 기하학|리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 경우, [[계량 텐서]]에 의하여 접다발 <math>TM</math>에 자연스럽게 <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>-작용이 존재하고, 이에 따라 <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>-주다발을 정의할 수 있다. 이를 '''틀다발'''({{llang|en|frame bundle}})이라고 한다.
작용 <math>T_xM\times\operatorname{SO}(p,q)\to T_xM</math>으로부터 다음과 같은 선형사상을 정의할 수 있다.
:<math>\kappa\colon\mathfrak{so}(p,q)\otimes\mathcal C^\infty(M)\to\Gamma(TM\otimes T^*M)</math>
이에 따라, 틀다발의 접속 <math>\omega</math>로부터 접다발의 접속 <math>\nabla\colon\Gamma(TM)\to\Gamma(TM\otimes T^*M)</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\kappa(\omega(X))=\nabla X</math>
이와 같이 정의한 접다발의 접속의 [[리만 곡률]]은 틀다발의 접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다. (이 둘 사이는 <math>\kappa</math> 등으로 바꿀 수 있다.)
(유사) 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 접속 ([[크리스토펠 기호|레비치비타 접속]])이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 접속을 정의할 수 있는데, 이를 '''스핀 접속'''({{llang|en|spin connection}})이라고 한다.
[[분류:미분기하학]]
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