산술의 기본 정리: 두 판 사이의 차이
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이 정리에 의해서 정수집합은 [[정역]](integral domain) 중에서 [[유일분해정역]](unique factorization domain)으로 분류할 수 있게 된다.
== 증명 ==
이 정리의 증명은 다음과 같은 두단계로 나눠진다.
=== 1 단계 ===
첫번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 <math>n</math>의 두번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 <math>p_1</math>이 두번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면, 소수의 정의에 의해서 <math> 1<l<p_1 </math>이고<math>m</math>을 나누는 양의정수 <math>l</math>이 존재하고, 따라서 <math>l</math>은 <math>n</math>도 나눌수있기 때문에, <math>p1</math>이 두번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 <math>n</math>은 반드시 소수인 약수를 갖게 된다. 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.
<math> n=p_1n_1 </math>
만약,<math>n_1</math>이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, <math>n_1</math>가 소수가 아니라면,
<math> n_1</math> 역시 1을 제외한 약수중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.
<math> n=p_1p_2n_2 </math>
이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.
=== 2 단계 ===
두번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면,) 유일함을 증명한다.
만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다큰 양의 정수가 있다고 가정해보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,
<math>n=p_1p_2p_3...p_k=q_1q_2q_3...q_l, (p_1 \le p_2 \le p_3 \le ... \le p_k, q_1 \le q_2 \le q_3 \le ... \le q_l, p_i,q_j는 소수이고, p_i \ne q_j)</math>
(<math>p_i=q_j</math>이면, <math> n>\frac{n}{p_i}</math> 역시 소수의 곱이 유일하지 않다.)
한편 <math>p_1^2 \le n, q_1^2 \le n</math>이고 <math>p_1^2</math>과 <math>q_1^2</math>은 동시에 <math>n</math>이 될 수 없으므로, <math>0<p_1q_1<n</math>이 된다.
여기서 <math>N=n-p_1q_1</math> 이라고 한다면, <math>0<N<n</math> 이므로, 가정에 의해 <math>N</math>을 나타내는 소수의 곱이 유일하다. 또한 <math>N</math>은 <math>p_1</math>을 약수로갖고, <math>q_1</math>도 약수로갖기 때문에 <math>p_1q_1</math>도 역시 <math>N</math>의 약수이다. 따라서 <math>p_1q_1</math>은 <math>n</math>의 약수가 되고, <math>\frac{n}{p_1}</math>은 <math>q_1</math>을 약수로 갖아야 한다. 즉 <math>\frac{n}{p_1}=p_2p_3...p_k</math>는 <math>q_1</math>을 약수로 갖아야 한다. 하지만, <math>p_i \ne q_j</math> 이고, <math>p_i</math>,<math>q_j</math>는 소수임으로, 이것은 불가능하다. 즉, 모순이 생긴다.
== 참조 ==
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