평면: 두 판 사이의 차이

[[기하학]]에서 '''평면'''(平面)은 완전하게 평평한 [[차원|2차원]] [[곡면]]이다. 직관적으로 말하면, 하나의 평면은 무한히 평평하게 펼쳐져 있는 종이 한 장과 같은 것이다.

[[유클리드 기하학|평면 기하]]나 2차원 [[컴퓨터 그래픽스]]와 같은 분야에서는 모든 일이 하나의 평면에서 이루어지므로 그냥 "평면"이라 하면 전체 공간을 말하는 것이 된다. 기하학적인 성질을 사용하거나 [[삼각비]]를 사용할 때, [[그래프]]를 그릴 때도 평면에서 대부분의 일이 이루어진다.

[[유클리드 공간]]에서 평면은 [[곡면]]의 일종으로서, 그 위에 있는 어느 두 [[점 (기하)|점]]을 택하여도 그 두 점을 지나는 [[직선]] 전체를 항상 포함하는 것으로 정의할 수 있다. 평면은 [[직교 좌표계|직교 좌표]]를 도입하여 임의의 점을 두 [[실수]]의 [[순서쌍]]으로 유일하게 나타낼 수 있으며, 이 순서쌍을 그 점의 [[좌표계|좌표]]라 한다.

보통의 [[스칼라곱|내적]]으로 정의되는 [[등거리사상]]을 [[동형사상]]으로 하여 주어지는 보통의 기하학적 구조 이외에, 추상화의 여러 단계에 따라 평면 또한 여러 가지 방식으로 생각할 수 있다. 추상화의 각 단계는 특정한 [[범주 (수학)|범주]]에 대응한다.

한쪽 극단에는 모든 기하학적 성질과 계량(거리)에 관련된 성질을 제외시킨 [[위상수학|위상평면]]이 있다. 위상평면은 구멍 같은 것이 없는 무한한 고무판과 같은 공간으로, 멀고 가까움은 있지만 거리의 개념은 없으며, 경로라는 개념은 있지만 곧은 선으로서의 직선의 개념은 없다. 위상평면 혹은 그와 동등한 공간인 열린 원판(경계를 포함하지 않는 원의 내부)은 낮은 차원에 대한 위상수학에서 [[곡면]](혹은 2차원 [[다양체]])를 구성할 때 사용되는 기본적인 [[근방]]이다. 위상평면은 [[평면 그래프]]를 다루는 [[그래프 이론]]의 자연스러운 맥락이 되며, [[4색정리|사색 정리]]와 같은 결과 역시 위상평면의 맥락에서 이루어진 것이라고 할 수 있다.

[[미분기하]]에서는 평면을 2차원 다양체, 즉 [[미분 구조]]가 주어진 위상평면으로 본다. 이 경우에도 거리 개념은 없으나 곡선이나 곡면(정확히는 사상)의 매끈함, 예를 들어 (적용되는 미분 구조의 형태에 따라) [[미분|미분가능한]] 경로나 [[매끈한 함수|매끈한]] 경로 같은 것이 정의된다. 이 경우 공간의 구조를 결정하는 동형사상은 주어진 횟수만큼 미분가능한 일대일 대응이다.

추상화의 반대쪽 극단으로 가면, 기하학적인 평면에 적당한 체의 구조를 주어(다시 말해 평면 위의 점의 집합과 복소수의 집합을 일대일 대응시켜) [[복소평면|복소 평면]]을 구성할 수 있는데, 복소 평면은 [[복소함수론]]이라는 커다란 분야의 기초가 된다. 복소수 체는 단 두 개의 동형사상을 갖는데, 하나는 항등사상이고 다른 하나는 켤레복소수 취하기이다.

또한, 평면이 일정한 음의 곡률을 갖는 [[쌍곡 평면]]이 되도록 계량을 줄 수도 있다. 이런 방법은 [[특수 상대성 이론|특수상대성이론]]에서 시공간을 한 차원의 공간과 한 차원의 시간을 갖는 이차원 공간으로 단순화하여 생각할 때 응용된다.