랴푸노프 안정성: 두 판 사이의 차이
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여기서 <math>x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n</math> 는 시스템 상태 벡터, <math>\mathcal{D}</math> 는 원점을 포함 하는 열린 집합, 그리고 <math>f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> 는 <math>\mathcal{D}</math> 상에서 연속이다. <math>f</math> 는 평형점 <math>x_e</math> 를 갖는다고 가정한다.
# 만일 모든 <math>\epsilon > 0</math> 가 다음을 만족시키는 <math>\delta = \delta(\epsilon) > 0</math>, 즉, 모든 <math>t \geq 0</math>에서 <math>\|x(0)-x_e\| < \delta</math> 이면 <math>\|x(t)-x_e\| < \epsilon</math> 가 되는 <math>\delta </math>를 가진다면 위 시스템의 해당 평형점은 '''리야프노프 안정'''이다.
# 해당 평형점이 리야프노프 안정이고 <math>\|x(0)-x_e \|< \delta</math> 이면 <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \|x(t)-x_e\| = 0</math> 인 <math>\delta > 0</math> 가 존재하면 '''점근적 안정'''이다.
# 위 시스템의 해당 평형점이 점근적으로 안정이고 <math>\|x(0)-x_e\| < \delta</math> 이면 <math>\|x(t)-x_e\| \leq \alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}</math> 인 <math>\alpha, \beta, \delta >0</math> 가 <math>t \geq 0</math> 에 관하여 존재하면 '''지수적으로 안정''' 이다.
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