"초한귀납법"의 두 판 사이의 차이

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즉, 위의 세 가지 성질이 성립할 경우 P(α)는 모든 서수 α에 대해 참이다. 여기서 수학적 귀납법과의 유일한 차이는, 서수는 계속 1을 더해가는 방법으로는 전부 만들어낼 수 없기에 극한서수의 경우를 따로 고려해준다는 것 뿐이다. 위의 내용을 잘 보면 알 수 있듯이 따름서수의 경우와 극한서수의 경우에서 증명할 내용은 사실상 동일하다.
 
==초한반복==
'''Transfinite recursion''' is a method of constructing or defining something and is closely related to the concept of transfinite induction. As an example, a sequence of sets ''A''<sub>α</sub> is defined for every ordinal α, by specifying three things:
* What ''A''<sub>0</sub> is
* How to determine ''A''<sub>α+1</sub> from ''A''<sub>α</sub> (or possibly from the entire sequence up to ''A''<sub>α</sub>)
* For a limit ordinal λ, how to determine ''A''<sub>λ</sub> from the sequence of ''A''<sub>α</sub> for α < λ
 
'''초한반복'''(transfinite recursion)은 집합들의 열 A<sub>α</sub>를 모든 서수 α에 대해 정의하기 위해 초한귀납법과 유사한 과정을 사용한다. 구체적으로는 다음의 세 단계가 필요하다.
*A<sub>0</sub>를 정의한다.
*임의의 따름서수 β+1에 대해, A<sub>β</sub>가 주어져 있을 때 A<sub>α+1</sub>를 정의하는 방법을 규정한다. (필요할 경우 β보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>에도 의존하도록 정의해도 된다.)
*임의의 극한서수 λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>들이 주어져 있을 때 A<sub>λ</sub>을 정의하는 방법을 규정한다.
 
보다 형식적으로는, 초한반복 정리의 내용은 다음과 같다.
:모임 함수 <b>G<sub>1</sub></b>, <b>G<sub>2</sub></b>, <b>G<sub>3</sub></b>에 대해, 다음을 만족하는 초한 수열 <b>F</b>가 유일하게 존재한다:
:*dom(<b>F</b>) = Ord (dom은 정의역, Ord는 모든 서수의 진모임)
:*<b>F</b>(0) = <b>G<sub>1</sub></b>(<math>\emptyset</math>)
:*모든 <math>\alpha \in Ord</math>에 대해, <b>F</b>(<math>\alpha + 1</math>) = <b>G<sub>2</sub></b>(<b>F</b>(<math>\alpha</math>))
:*모든 극한서수 <math>\alpha \neq 0</math>에 대해, <b>F</b>(<math>\alpha</math>) = <b>G<sub>3</sub></b>(<b>F</b><math>\upharpoonright \alpha</math>).
 
==선택공리와의 관계==

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