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스튀름-리우빌 연산자: 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, '''스튀름-리우빌 이론'''({{lang|en|Sturm–Liouville theory}})은 2차 선형 [[미분방정식미분 방정식]]을 다루는 이론이다. [[자크 샤를 프랑수아 스튀름]]과 [[조제프 리우빌]]({{lang|fr|Joseph Liouville}})의 이름을 땄다. [[물리학]]에 널리 응용된다.
 
== 정의 ==
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이 형태의 미분방정식은 그 해로 주어지는 함수가 서로 다른 고유치에 대해 [[직교성]]을 가지는 성질이 있다.
 
모든 2차 선형 [[상미분방정식상미분 방정식]]은 좌변에 적당한 적분 인자({{lang|en|integrating factor}})를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 [[편미분방정식편미분 방정식]]이나, ''y''가 [[스칼라]]가 아니라 [[벡터]]인 경우에는 성립하지 않는다.)
=== 예 ===
[[베셀 방정식]]
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: <math>[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!</math>
 
좀 더 복잡한 예로 다음 미분방정식을미분 방정식을 생각하자.
 
: <math>x^3y''-xy'+2y=0.\,</math>
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이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
: <math>D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2} </math>
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분방정식은미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분방정식과 같다.
: <math>(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.</math>
 
알반적으로 다음과 같은 미분방정식이미분 방정식이 주어졌다고 하자.
: <math>P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,</math>
 
양변을 ''P''(''x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
: <math>e^{\int {Q(x) / P(x)}\,dx},</math>
 
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/스튀름-리우빌_연산자"