관수로: 두 판 사이의 차이
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[[File:Flow-profile-roughness.svg|thumb|층류(laminar flow)는 포물선 유속 분포, 난류(turbulent flow)는 평활화된 유속 분포를 보인다]]
[[File:난류의 부분 명칭.jpg|thumb|난류의 흐름 형상에서, 가장자리의 미소 구간은 층류 저층(laminar sublayer), 중앙의 평활화된 구간은 난류핵(turbulence core)라 한다]]
'''관수로'''란 수로 내의 액체가 공기와 맞닿는 면이 없는, 즉 자유 수면이 없는 수로를 말한다. 쉽게 말하면 폐쇄된 관이 꽉 차 있으면 관수로라고 한다. 반대되는 개념은 [[개수로]]이다.<ref>{{
흐름 형상이 포물선인 경우를 '''[[층류]]''', 흐름 형상이 가장자리는 층류 저층(laminar sublayer)이 존재하고, 층류 저층 사이는 평활화된 경우를 '''[[난류 (역학)|난류]]'''라고 한다. 이때 층류 저층은 아주 미소한 구간에서 나타나게 된다. 난류의 두 층류 저층 사이 평활화된
구간은 난류 핵(turbulence core)라고 한다.
두 가지 흐름 형상을 구분하는 지표로 [[레이놀즈 수]](Re)를 사용한다. 원형 관의 경우 레이놀즈 수가 2100 이하이면 층류, 2900에서 4000 사이이면 천이 영역, 4000 이상이면 난류라고 한다. 명확한 구분은 없어서 어떤 경우는 2000에서 4000 사이를 천이 영역으로 보기도 한다.
층류와 난류 모두 관벽에서는 유속이 0이다. 이것을 '''비활조건'''(no-slip condition)이라고 한다. 층류와 난류를 구분하는 또다른 방법은 흐름에 교란을 주는 것이다. 교란을 주었을 때 흐름이 [[점성]]에 의해 감쇠된다면 층류, 증폭된다면 난류로 구분한다.
== 관수로 내 흐름 변화 ==
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어떤 넓은 수조에서 관수로로 흘러 들어가는 물에 대해 생각해보자. 관수로 입구에서는 흐름 형상이 유속이 모두 일정한 모습을 띌 것이다. 그러다가 관벽과의 마찰, 즉 [[점성]]에 의해 관과 접한 부분은 유속이 0이 되고 관벽의 영향을 받지 않는 중앙부의 평활화된 부분은 점성의 영향을 받지 않아 흐름이 가속화될 것이다. 그리고 점점 하류로 갈수록 흐름 형상에서 인접한 층의 속도가 감소되기 시작할 것이다.
최종적으로 관벽의 영향을 받지 않는 부분, 즉 핵(core) 부분은 사라지고 점성에 의해 영향을 받던 가장자리 부분이 만나게 되는데, 이 상태를 '''완전히 발달된 흐름'''(fully developed flow)이라고 한다. 관수로의 입구에서부터 완전 발달 흐름이 생기기까지의 거리를 '''발달 거리'''(entrance length)라고 한다. 발달 거리 이후에는 유속 분포가 변하지 않고, 벽에서의 전단력도 일정하며, [[층류]]이건 [[난류]]이건 상관 없이 선형적인 압력 손실이 발생한다. 발달 거리는 층류, 난류에 상관 없이 [[레이놀즈 수]](Re), 관수로의 직경에 대한 함수로 나타난다. 그러나 두 식이 동일하게 나타나는 것은 아니다.
[[File:관수로 압력 변화.jpg|thumb|left|450px|관수로에서 흐름이 진행될수록 압력은 감소]]
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이제 위에서 구했던 손실 수두 식과 지금 구한 식을 손실 수두에 대해 정리하면 관수로에서 손실 수두에 대한 식을 얻을 수 있다.
:<math>h_L=\frac{\tau}{\gamma R}l\qquad \cdots(1)</math>
이 식은 관 단면이 어떤 형상이든지 적용 가능하다.
=== Darcy-Weisbach 공식 ===
한편 Darcy-Weisbach에 의하면 마찰 손실 수두는 다음 식을 통해서도 구할 수 있다.<ref>{{
:<math>h_L=f\cdot \frac{l}{D}\cdot \frac{V^2}{2g}\qquad \cdots(2)</math>
f는 마찰계수(무차원)로, [[레이놀즈 수]](Re)와 상대조도<math>\frac{e}{D}</math>의 함수이다.<ref name="
비원형 단면의 손실 수두는, R=D/4의 관계를 이용해서 다음 식으로 구할 수 있다.<ref name="
:<math>h_L=f\cdot \frac{l}{4R}\cdot \frac{V^2}{2g}</math>
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여기서 마찰 속도(u<sub>*</sub>)라는 개념을 새로 정의할 수 있는데, 우선 (3)식에서 양변을 밀도 ρ로 나누고 루트를 씌워 보자.
:<math>u_*=\sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} =V\sqrt{\frac{f}{8}}</math>
우변 항은 f가 무차원 계수이고, V는 속도 차원이다. 따라서 좌변 항도 속도 차원이다. 이 값을 마찰 속도(u<sub>*</sub>)라고 정의한다.<ref
=== Nikuradse의 손실 계수 실험 ===
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레이놀즈 수가 층류일 때보다 더 커지면 흐름은 천이 영역과 난류 흐름으로 변하게 된다. 상대 조도<math>\frac{e}{D}</math>가 작은 경우에는 큰 레이놀즈 수 영역까지, 상대 조도<math>\frac{e}{D}</math>가 큰 경우에는 그보다 작은 레이놀즈 수 영역까지 천이 영역이 나타난다. 천이 영역에서는 마찰 계수가 레이놀즈 수와 상대 조도 모두의 영향을 받는다. 레이놀즈 수가 더 커져서 천이 영역을 벗어나 난류 영역으로 가면, 마찰 계수 f는 레이놀즈 수와 관계없고 상대 조도에 의해서만 변하는 것을 확인할 수 있다.(그래프 상에서 우측 부분. Re가 커지더라도 마찰 계수 f가 일정하게 되어 수평 구간이 나타난다) 이 구간을 완전 난류 영역이라고 한다.
한편 매끈한 관(smooth pipe)에서는 상대 조도와 관계 없이 마찰 계수 f가 레이놀즈 수만의 함수로 나타난다.
Nikuradse 실험의 한계는 공장에서 생산되는 관의 조도가 실험실에서 인공적으로 관에 모래를 뿌려 만든 조도와는 다르기 때문에 실제 상황에 적용하기는 힘들다는 점이다.
=== Moody 선도 ===
[[File:Moody EN.svg|right|667px]]
인공적으로 조성한 조도를 가지고 실험한 Nikuradse 실험보다 실제의 관에 사용할 수 있도록 만든 도표가 Moody가 제시한 Moody 선도(Moody diagram or Moody chart)이다.
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:<math>u=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (4)</math>
수평관의 경우 <math>\frac{dp}{dx}=\frac{p_2-p_1}{l}=-\frac{\gamma h_L}{l}</math>이므로
:<math>u=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (5)</math>이고, 이 식으로 표현되는 층류를 [[푸아죄유의 법칙|하겐-푸아죄유]](Hagen-Poiseuille) 흐름이라고 한다.
=== 최대 유속 ===
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:<math>u_{max}=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2</math>
:<math>u_{max}=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2</math>
따라서 관수로에서 층류 유속 분포 식 (5)를 u<sub>max</sub>로도 나타낼 수 있다.<ref name="
:<math>u=u_{max}\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)</math>
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</math>
:<math>V=\frac{Q}{A}=\frac{1}{2}u_{max}</math>
식으로부터 관수로의 평균 유속은 관 중심에서 최대 유속의 절반이 됨을 알 수 있다.<ref name="
=== 마찰손실계수 ===
u<sub>max</sub>=2V이므로 <math>u_{max}=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2</math>에 대입하면 <math>V=\frac{\gamma h_L}{8\mu l}R^2</math>이다. R=d/2를 식에 대입하고 손실 수두 h<sub>L</sub>에 대해 정리하면 다음과 같다.
:<math>h_L=\frac{64\mu}{\rho Vd}\frac{l}{d}\frac{V^2}{2g}</math>
이를 Darcy-Weisbach 식과 비교하면 마찰손실계수 <math>f=\frac{64\mu}{\rho Vd}=\frac{64}{Re}</math>이다. 앞서 마찰손실계수 실험에서 층류의 경우 마찰손실계수는 관의 조도와 상관 없이 레이놀즈 수에만 영향을 받는다고 하였는데, 유도된 식에서도 같은 결론을 얻을 수 있다.
== 관수로의 난류 흐름 ==
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적분하면 다음 식과 같이 된다.
:<math>u=\frac{u_*}{\kappa}ln y+C \qquad \cdots (6)</math>
이 식은 관 벽의 상태를 전혀 가정하지 않고 유도한 식이므로 매끈한 관이건 거친 관이건 모두 적용할 수 있는 기본식이다.
=== 관 중심선 유속 ===
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실험에 의하면, 상수 3.75보다 4.07이 더 잘 맞는 것으로 나타나, 식을 다음과 같이 수정한다.
:<math>u_c=V\left( 1+4.07\sqrt{\frac{f}{8}}\right)</math>
이 식은 관의 상태에 대해 전혀 가정하지 않고 시작했으므로, 거친 관이든 매끈한 관이든 사용할 수 있다.
=== 매끈한
매끈한 관과 거친 관의 구분은 간단치 않으나, 다음과 같은 기준으로 구분한다.<ref>{{서적 인용 |저자=김경호 |날짜= 2010 |판=1 |제목= 수리학|출판사=한티미디어 |쪽=410 |isbn= 978-89-6421-019-2}}</ref>▼
▲===== 유속 분포 =====
실험에 따르면 관벽 근처에서만 적용하던 (6)번 식은 관 중심에서도 유효하다. 따라서
:<math>\begin{matrix}
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실험에 의하면 우변의 첫번째, 두번째 항의 값은 5.5이다.
:<math>\therefore \frac{u}{u_*}=5.5+5.75\log \frac{u_*y}{\nu} \qquad \cdots (7)</math>
이 식은 완전 난류 영역에서는 잘 맞으나, <math>\frac{u_*y}{\nu}</math>가 작은 영역에서는 실험 결과와 잘 맞지 않는다. 이는 벽면 근처에서는 [[점성]]이 지배적이어서 층류 상태가 되므로(층류 저층) (6)번 식이 성립하지 않기 때문이다. 이때는 뉴턴의 [[점성 법칙]]을 이용해 식을 다시 만들어주어야 한다. 층류 저층에서의 유속 분포는 <math>\tau =\tau_0 =\mu \frac{du}{dy}</math>이므로 다음 식으로 나타난다.
:<math>\frac{u}{u_*}=\frac{u_*y}{\nu}</math>
매끈한 관에서의 난류 유속 분포식(7)에서 y=d/2이고 난류의 관 중심선 유속 <math>u_c=V\left( 1+4.07\sqrt{\frac{f}{8}}\right)</math>, 마찰 속도 <math>u_*=V\sqrt{\frac{f}{8}}</math>이므로, 이를 정리하면 난류에서의 마찰손실계수를 구할 수 있는 식이 된다. 실험값에 의해 보정해준 최종 식은 다음과 같이 나타난다. 매끈한 관에서의 마찰계수 f는 [[레이놀즈 수]](Re)만의 함수로 나타남을 알 수 있다.
:<math>\frac{1}{\sqrt{f}}=2.0\log (Re\sqrt{f})-0.80</math>
관수로의 난류 유속 분포식 (6)번에 의하면 <math>\frac{u_c-u}{u_*}=5.75\log \frac{R}{y}</math>이다. 거친 관에서는 매끈한 관과 다르게 흐름을 지배하는 인자가 [[점성]]이 아니라 관의 조도이다. 따라서 [[동점성계수]] ν보다 관의 조도 e를 이용해 식을 변형한 뒤 실험값을 통해 보정하면 다음 식과 같이 된다.
:<math>\frac{u}{u_*}=8.5+5.75\log \frac{y}{e}</math>
이 식과 조도 실험의 결과를 비교해서 결정하는 e값을 '''상당 조도'''(equivalent roughness) 또는 '''평균 조도'''라고 부른다.
거친관에서의 난류 유속 분포 식에 매끈한 관에서와 마찬가지 방법으로 식을 정리한 후, 실험 결과를 통해 보정하면 다음 식을 얻는다.
:<math>\frac{1}{\sqrt{f}}=2.0\log \frac{d}{e}+1.14</math>
거친 관에서의 마찰손실계수는 [[레이놀즈 수]](Re)와는 무관하고 상대 조도(e/d)와만 관계 있음을 알 수 있다.
== 관수로의 평균 유속 경험식 ==
=== Manning 공식 ===
n은 조도 계수, R은 [[경심]], I는 [[동수 경사]]라 할 때, <math>V=\frac{1}{n}R^{\frac{2}{3}}I^{\frac{1}{2}}</math
조도 계수(coefficient of roughness) n은 관 벽의 거친 정도를 나타내는 계수이며, 다음 표와 같이 주어진다.
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| 낡은 [[주철]]관 || 0.014~0.018 || ||
|}
조도 계수와 마찰손실계수 f의 관계는 다음 식과 같이 나타난다.
:<math>f=\frac{12.7gn^2}{D^{\frac{1}{3}}}=\frac{124.6n^2}{D^{\frac{1}{3}}} (m\cdot sec)</math>
=== Chezy 공식 ===
개수로, 관수로에 사용. <math>V=C\sqrt{RI}</math> 여기서 C는 평균 유속 계수이며, 다음 식과 같다. <math>C=\frac{1}{n}R^{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{8g}{f}}</math> (g는 중력가속도, f는 마찰 손실 계수이다)
== 소손실 ==
줄 209 ⟶ 203:
소손실 수두는(loss head due to minor loss)는 다음 식으로 나타낸다.
:<math>h_n=f_n\frac{V^2}{2g}</math>
소손실의 종류가 어떤 것인가에 따라 소손실 계수(coefficient of minor loss, f<sub>n</sub>)가 달라진다. 식의 형태는 기본적으로 위 식과 동일하다.<ref name="
=== 입구 손실 ===
큰 수조나 저수지, 호수로부터 작은 관으로 물이 흘러들어갈 때 손실이 발생하는데 이를 입구 손실(loss due to entrance)라 하고, 입구 손실 수두를 <math>h_e=f_e\frac{V^2}{2g}</math>로 나타낸다. 입구 손실 계수는 일반적으로 f<sub>e</sub>=0.5이다.<ref name="
=== 출구 손실 ===
출구 손실(exit loss)는 단면 급확대의 극단적인 예로, 일반적으로 출구 손실 계수 f<sub>0</sub>=1.0이다.
== 더 보기 ==
줄 225 ⟶ 219:
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자=노재식 외 |날짜= 2016|제목= 토목기사 대비 상하수도 공학|url= |위치= |출판사= 한솔아카데미|쪽= |isbn=979-11-5656-234-4 |확인날짜= }}
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주의: 다음의 참고 문헌은 본문의 각주{{Sfn}}, {{Harvnb}}에서 사용되고 있음. 2017-09-26
-->
* {{서적 인용 | 저자=송재우 | 날짜= 2012 | 판=3 | 제목= 수리학 | 출판사=구미서관 | 쪽= | ISBN= 978-89-8225-857-2 | ref=harv}}
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* {{서적 인용 | 저자1=고영하 | 저자2=권혁칠 | 저자3=조성갑 | 저자4=정운철 |날짜= 2012 |판=1 |제목= 유체역학|url= |위치= |출판사=북스힐 |쪽= | ISBN = 89-5526-286-8 | ref=harv}}
* {{서적 인용 | 저자1=Clayton T. Crowe | 저자2=Donald F. Elger | 저자3=Barbara C. Williams | 저자4=John A. Roberson |날짜= 2012 |판=9 |제목= 유체역학|url= |위치= |출판사=한티미디어 | ISBN= 978-89-6421-015-4 | ref=harv}}
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여기까지 각주에서 사용되는 참고 문헌 2017-09-26
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[[분류:상하수도 공학]]
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