평사도법(平射圖法, stereographic projection)은 지도 투영법에서 극사영을 부르는 말로 정각도법이다. 타원체에 맞게 변형한 것을 포함한다.
극을 투영 원점으로 삼았을 때, 위도를 ϕ {\displaystyle \phi } , 지도상의 거리를 r {\displaystyle r} 이라 하면 다음과 같이 주어진다.
r = 2 ( sec ϕ − tan ϕ ) {\displaystyle r=2(\sec \phi -\tan \phi )}
정각성에 의해 다음이 성립한다.
− d ϕ cos ϕ d λ = d r r d λ {\displaystyle -{\frac {d\phi }{\cos \phi \,d\lambda }}={\frac {dr}{r\,d\lambda }}}
d r r = − sec ϕ d ϕ {\displaystyle {\frac {dr}{r}}=-\sec \phi \,d\phi }
log r = log ( sec ϕ − tan ϕ ) + C {\displaystyle \log r=\log(\sec \phi -\tan \phi )+C}
이제 C {\displaystyle C} 를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, r ′ ( π 2 ) = − 1 {\displaystyle r'({\frac {\pi }{2}})=-1} 이다.
위의 식에서 d r d ϕ = e C ( sec ϕ tan ϕ − sec 2 ϕ ) {\displaystyle {\frac {dr}{d\phi }}=e^{C}({\sec \phi \tan \phi -\sec ^{2}\phi })} 이므로,
− 1 = r ′ ( π 2 ) = lim ϕ → π 2 − e C ( sec ϕ tan ϕ − sec 2 ϕ ) = e C lim ϕ → π 2 − sin ϕ − 1 cos 2 ϕ = − e C 2 {\displaystyle -1=r'({\frac {\pi }{2}})=\lim _{\phi \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}e^{C}({\sec \phi \tan \phi -\sec ^{2}\phi })=e^{C}\lim _{\phi \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\frac {\sin \phi -1}{\cos ^{2}\phi }}=-{\frac {e^{C}}{2}}}
따라서 e C = 2 {\displaystyle e^{C}=2} 가 된다.
를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, 
이다.
이므로,
가 된다.
