프레드홀름 가군

비가환 기하학과 함수해석학에서 프레드홀름 가군(영어: Fredholm module)은 위상다양체 위에 존재하는 미분 구조를 대수적으로 나타내는 구조다.

역사

마이클 아티야가 "추상 타원 연산자"(영어: abstract elliptic operator)라는 이름으로 도입하였다. 알랭 콘이 비가환 기하학을 연구하면서 재발견하였으며, "프레드홀름 가군"이라는 이름을 붙였다.

정의

$A$가 복소수에 대한 C* 대수라고 하자. $A$ 위의 프레드홀름 가군(영어: Fredholm module) $({\mathcal {H}},fT)$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.^:199–204

• 분해 가능 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$
• C* 대수의 표현 $\rho \colon A\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ (${\mathcal {B}}$는 유계 연산자들의 C* 대수)
• 선형 작용소 $T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$

이들은 다음을 만족시킨다.

• $T\sim T^{*}$
• $T^{2}\sim 0$
• 임의의 $a\in A$에 대하여, $[T,\rho (a)]\sim 0$

여기서 $X\sim Y$는 $X-Y$가 콤팩트 작용소임을 의미한다.

각주

• Connes, Alain (1994). 《Non-commutative geometry》 (PDF). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.