헬름홀츠 코일 (독일어 : Helmholtz-Spule )은 거의 균일한 자기장 을 발생시키기 위한 장치이다. 독일 물리학자 헤르만 폰 헬름홀츠 의 이름을 따서 명명되었다.
헬름홀츠 코일은 두 개의 동일한 원형 코일 로 이루어져 있다. 두 코일은 실험 영역을 사이에 두고 중심축을 공유하며 서로 나란하게 위치해 있다. 이때 두 코일 사이의 거리
h
{\displaystyle h}
R
{\displaystyle R}
전류 가 동일한 방향으로 흐른다.
헬름홀츠 코일의 전제조건인
h
=
R
{\displaystyle h=R}
∂
2
B
∂
x
2
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2}B \over \partial x^{2}}=0}
[1]
∂
4
B
∂
x
4
{\displaystyle \partial ^{4}B \over \partial x^{4}}
h
{\displaystyle h}
∂
2
B
∂
x
2
{\displaystyle \partial ^{2}B \over \partial x^{2}}
[2]
일부 기기에서, 지구 자기장 을 상쇄시켜 자기장 세기를 0에 근사시키기 위해 헬름홀츠 코일을 사용하기도 한다.[3]
전류 고리를 이분하는 평면상에 나타낸 자기력선 그림. 코일의 사이에서 자기력선 간격이 거의 일정하다는 것에 주목하라(이 그림에서 코일은 하나의 옆에 다른 하나가 위치해 있으며, 중심축은 가로로 놓여 있다). 코일 중심을 가로지르는 축 상에서의 자기장 유도.
z
=
0
{\displaystyle z=0}
코일 쌍 근처의 자기장 규모를 보여주는 개략도. 가운데의 "문어" 모양 팔각별 속에서의 자기장은 중앙값
B
0
{\displaystyle B_{0}}
0.5
B
0
{\displaystyle 0.5B_{0}}
0.8
B
0
{\displaystyle 0.8B_{0}}
0.9
B
0
{\displaystyle 0.9B_{0}}
0.95
B
0
{\displaystyle 0.95B_{0}}
0.99
B
0
{\displaystyle 0.99B_{0}}
1.01
B
0
{\displaystyle 1.01B_{0}}
1.05
B
0
{\displaystyle 1.05B_{0}}
1.1
B
0
{\displaystyle 1.1B_{0}}
공간에서 어떤 지점의 정확한 자기장의 계산은 베셀 함수 의 연구와 관계가 있으며, 수학적으로 매우 복잡하다. 하지만 코일 한 쌍의 중심축을 따라가는 공간에서는 문제가 훨씬 간단해진다. 자기장 세기를 중앙으로부터 코일 축 상의 한 지점이 떨어진 거리
x
{\displaystyle x}
테일러 급수 전개를 생각하면 편리하다.
계산 결과 중앙점에서의 자기장의 값을 얻을 수 있다. 반경이
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
I
{\displaystyle I}
B
{\displaystyle B}
B
=
(
4
5
)
3
/
2
μ
0
n
I
R
{\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
진공투자율
4
π
×
10
−
7
{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}}
단일 고리 전선으로 인한, 축을 중심으로 한 자기장에 대한 공식(비오-사바르 법칙 에서 유도된다)에서부터 시작하자.[1]
B
=
μ
0
I
R
2
2
(
R
2
+
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}}
이때
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\;}
진공투자율 =
4
π
×
10
−
7
{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}}
=
1.257
×
10
−
6
{\displaystyle =1.257\times 10^{-6}}
I
{\displaystyle I\;}
암페어
R
{\displaystyle R\;}
x
{\displaystyle x\;}
그런데 코일은 이러한 단일 고리가 여러 개 모여서 만들어진 것인고로, 코일 전체의 전류는 다음과 같이 주어지고
n
I
{\displaystyle nI\;}
이때
n
{\displaystyle n\;}
이것을 공식에 대입하면
B
=
μ
0
n
I
R
2
2
(
R
2
+
x
2
)
3
2
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3 \over 2}}}}
헬름홀츠 코일에서 두 코일의 사이 중간 지점의
x
{\displaystyle x}
R
2
{\displaystyle R \over 2}
B
=
μ
0
n
I
R
2
2
(
R
2
+
(
R
2
)
2
)
3
2
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+({R \over 2})^{2})^{3 \over 2}}}}
그리고 코일이 두 개 있으므로 공식에 2를 곱하자.
B
=
2
μ
0
n
I
R
2
2
(
R
2
+
(
R
2
)
2
)
3
2
{\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+({R \over 2})^{2})^{3 \over 2}}}}
마지막으로 식을 간단히 정리하면 다음과 같다.
B
=
(
4
5
)
3
2
μ
0
n
I
R
{\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3 \over 2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}
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