기하학 에서 나폴레옹 정리 (Napoléon 定理, 영어 : Napoleon theorem )는 주어진 삼각형 의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형 의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.
나폴레옹 정리 도해
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외측에서 삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
,
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
,
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
가 정삼각형 이 되게 만드는 점
E
A
{\displaystyle E_{A}}
,
E
B
{\displaystyle E_{B}}
,
E
C
{\displaystyle E_{C}}
를 잡고 (예를 들어
E
A
{\displaystyle E_{A}}
는
B
C
{\displaystyle BC}
에 대하여
A
{\displaystyle A}
의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
,
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
,
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
의 무게 중심 을 각각
N
A
{\displaystyle N_{A}}
,
N
B
{\displaystyle N_{B}}
,
N
C
{\displaystyle N_{C}}
라고 하자. 마찬가지로, 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 내측에서 삼각형
E
A
′
B
C
{\displaystyle E_{A}'BC}
,
E
B
′
A
C
{\displaystyle E_{B}'AC}
,
E
C
′
A
B
{\displaystyle E_{C}'AB}
가 정삼각형이 되게 만드는 점
E
A
′
{\displaystyle E_{A}'}
,
E
B
′
{\displaystyle E_{B}'}
,
E
C
′
{\displaystyle E_{C}'}
를 잡고 (예를 들어
E
A
′
{\displaystyle E_{A}'}
는
B
C
{\displaystyle BC}
에 대하여
A
{\displaystyle A}
와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형
E
A
′
B
C
{\displaystyle E_{A}'BC}
,
E
B
′
A
C
{\displaystyle E_{B}'AC}
,
E
C
′
A
B
{\displaystyle E_{C}'AB}
의 무게 중심을 각각
N
A
′
{\displaystyle N_{A}'}
,
N
B
′
{\displaystyle N_{B}'}
,
N
C
′
{\displaystyle N_{C}'}
라고 하자. 나폴레옹 정리 에 따르면, 삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
와
N
A
′
N
B
′
N
C
′
{\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}
은 모두 정삼각형이다.
삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
를 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외측 나폴레옹 삼각형 (外側Napoléon 三角形, 영어 : outer Napoleon triangle )이라고 하고, 삼각형
N
A
′
N
B
′
N
C
′
{\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}
를 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 내측 나폴레옹 삼각형 (內側Napoléon 三角形, 영어 : inner Napoleon triangle )이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
1825년에 영국 의 수학자 윌리엄 러더퍼드(영어 : William Rutherford )가 《레이디스 다이어리》(영어 : The Ladies' Diary )의 〈새로운 수학 문제〉(영어 : New Mathematical Questions )란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.[1] :495
프랑스 의 황제 나폴레옹 보나파르트 의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.[1] :497
다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.
닮음을 통한 증명
편집
외측 나폴레옹 삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자.
N
A
N
B
{\displaystyle N_{A}N_{B}}
와
N
A
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{C}}
에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심 은 일치하므로,
N
A
{\displaystyle N_{A}}
,
N
B
{\displaystyle N_{B}}
,
N
C
{\displaystyle N_{C}}
는 각각 정삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
,
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
,
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히
∠
N
A
C
B
=
30
∘
=
∠
N
B
C
A
{\displaystyle \angle N_{A}CB=30^{\circ }=\angle N_{B}CA}
이며, 양변에
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
를 더하면
∠
N
A
C
A
=
∠
N
B
C
B
{\displaystyle \angle N_{A}CA=\angle N_{B}CB}
를 얻는다. 또한
N
A
C
=
1
3
E
A
C
,
N
B
C
=
1
3
A
C
{\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}C,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}AC}
이므로, 삼각형
N
A
N
B
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}C}
와
E
A
A
C
{\displaystyle E_{A}AC}
는 서로 닮음 이다. 다시 말해, 삼각형
N
A
N
B
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}C}
를
C
{\displaystyle C}
를 중심으로 30도 회전한 뒤
C
{\displaystyle C}
를 중심으로 하고
1
/
3
{\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}
를 비로 하는 중심 닮음 변환 을 가하면 삼각형
E
A
A
C
{\displaystyle E_{A}AC}
를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형
N
A
N
C
B
{\displaystyle N_{A}N_{C}B}
와
E
A
A
B
{\displaystyle E_{A}AB}
역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시
1
/
3
{\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}
이다. 따라서
N
A
N
B
=
1
3
E
A
A
=
N
A
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}A=N_{A}N_{C}}
가 성립한다.
외접원을 통한 증명
편집
우선 삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
,
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
,
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.[2] :61-63, §3.3 편의상 삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
,
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
의 외접원 의
C
{\displaystyle C}
가 아닌 교점을
P
{\displaystyle P}
라고 하자. 편의상
P
{\displaystyle P}
가
B
C
{\displaystyle BC}
,
A
C
{\displaystyle AC}
에 대하여 각각
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면
∠
B
P
C
=
180
∘
−
∠
B
E
A
C
=
120
∘
{\displaystyle \angle BPC=180^{\circ }-\angle BE_{A}C=120^{\circ }}
∠
A
P
C
=
180
∘
−
∠
A
E
B
C
=
120
∘
{\displaystyle \angle APC=180^{\circ }-\angle AE_{B}C=120^{\circ }}
이므로
∠
A
P
B
=
360
∘
−
∠
B
P
C
−
∠
A
P
C
=
120
∘
=
180
∘
−
∠
E
C
A
B
{\displaystyle \angle APB=360^{\circ }-\angle BPC-\angle APC=120^{\circ }=180^{\circ }-\angle E_{C}AB}
이며,
P
{\displaystyle P}
는 삼각형
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.
이제 외측 나폴레옹 삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상
∠
N
B
N
A
N
C
{\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}}
에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
와
E
B
C
A
{\displaystyle E_{B}CA}
의 외접원의 중심선
N
A
N
B
{\displaystyle N_{A}N_{B}}
는 공통현
P
C
{\displaystyle PC}
의 수직 이등분선 이다. 마찬가지로 삼각형
E
A
B
C
{\displaystyle E_{A}BC}
와
E
C
A
B
{\displaystyle E_{C}AB}
의 외접원의 중심선
N
A
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{C}}
역시 공통현
P
B
{\displaystyle PB}
의 수직 이등분선이다. 따라서
∠
N
B
N
A
N
C
=
360
∘
−
90
∘
−
90
∘
−
∠
B
P
C
=
60
∘
{\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\angle BPC=60^{\circ }}
이다.
삼각법적 증명
편집
외측 나폴레옹 삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
의 변
N
A
N
B
{\displaystyle N_{A}N_{B}}
의 길이를 원래 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 세 변의 길이
B
C
=
a
{\displaystyle BC=a}
,
C
A
=
b
{\displaystyle CA=b}
,
A
B
=
c
{\displaystyle AB=c}
에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수 라면 남은 두 변
N
B
N
C
{\displaystyle N_{B}N_{C}}
,
N
C
N
A
{\displaystyle N_{C}N_{A}}
의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형
N
A
N
B
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}C}
에서
∠
N
A
C
N
B
=
C
+
60
∘
{\displaystyle \angle N_{A}CN_{B}=C+60^{\circ }}
N
A
C
=
1
3
a
,
N
B
C
=
1
3
b
{\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}a,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}b}
이므로, 코사인 법칙 을 적용하면 다음을 얻는다.
N
A
N
B
2
=
N
A
C
2
+
N
B
C
2
−
2
⋅
N
A
C
⋅
N
B
C
⋅
cos
∠
N
A
C
N
B
=
1
3
(
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
C
+
60
∘
)
)
=
1
3
(
a
2
+
b
2
−
a
b
cos
C
+
3
a
b
sin
C
)
=
1
6
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
4
3
S
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{N_{A}N_{B}}^{2}&=N_{A}C^{2}+N_{B}C^{2}-2\cdot N_{A}C\cdot N_{B}C\cdot \cos \angle N_{A}CN_{B}\\&={\frac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C+60^{\circ }))\\&={\frac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}-ab\cos C+{\sqrt {3}}ab\sin C\right)\\&={\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S)\end{aligned}}}
여기서
S
{\displaystyle S}
는 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 넓이이다. 마지막 함수는
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.
나폴레옹 삼각형의 성질
편집
변의 길이와 넓이
편집
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
의 대변의 길이를
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
라고 하고, 넓이 를
S
{\displaystyle S}
라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형
N
A
N
B
N
C
{\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}
,
N
A
′
N
B
′
N
C
′
{\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}
의 변의 길이는
N
A
N
B
=
N
B
N
C
=
N
C
N
A
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
4
3
S
6
{\displaystyle N_{A}N_{B}=N_{B}N_{C}=N_{C}N_{A}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{6}}}}
N
A
′
N
B
′
=
N
B
′
N
C
′
=
N
C
′
N
A
′
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
4
3
S
6
{\displaystyle N_{A}'N_{B}'=N_{B}'N_{C}'=N_{C}'N_{A}'={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{6}}}}
이며, 넓이는
S
△
N
A
N
B
N
C
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
4
3
S
8
3
{\displaystyle S_{\triangle N_{A}N_{B}N_{C}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}}
S
△
N
A
′
N
B
′
N
C
′
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
4
3
S
8
3
{\displaystyle S_{\triangle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}}
이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.[2] :64, Theorem 3.38
무게 중심
편집
삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심 은 같다.[2] :65, §3.3, Exercise 4 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환 을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외측에서
P
+
Q
+
R
=
180
∘
{\displaystyle P+Q+R=180^{\circ }}
를 만족시키는 점
P
{\displaystyle P}
,
Q
{\displaystyle Q}
,
R
{\displaystyle R}
를 잡자. 그렇다면, 삼각형
P
B
C
{\displaystyle PBC}
,
A
Q
C
{\displaystyle AQC}
,
A
B
R
{\displaystyle ABR}
의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형
P
B
C
{\displaystyle PBC}
,
A
Q
C
{\displaystyle AQC}
,
A
B
R
{\displaystyle ABR}
가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 외측에서 삼각형
P
B
C
{\displaystyle PBC}
,
A
Q
C
{\displaystyle AQC}
,
A
B
R
{\displaystyle ABR}
가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점
P
{\displaystyle P}
,
Q
{\displaystyle Q}
,
R
{\displaystyle R}
를 잡고, 삼각형
P
B
C
{\displaystyle PBC}
,
A
Q
C
{\displaystyle AQC}
,
A
B
R
{\displaystyle ABR}
의 무게 중심을 각각
D
{\displaystyle D}
,
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
라고 하자. 그렇다면, 삼각형
D
E
F
{\displaystyle DEF}
는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형
P
B
C
{\displaystyle PBC}
,
A
Q
C
{\displaystyle AQC}
,
A
B
R
{\displaystyle ABR}
가 정삼각형인 특수한 경우이다.
같이 보기
편집
외부 링크
편집