뉴턴의 부등식

뉴턴의 부등식(Newton's inequalities, -不等式)은 영국의 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴 경이 제시한 부등식이다. 간단히 말해서, 이 부등식은 기본대칭평균의 로그 값이 오목성을 띤다는 내용이다.

기본대칭평균

뉴턴의 부등식을 이해하기 위해서는 기본대칭평균의 개념을 이해할 필요가 있다. 이 개념은 다음과 같의 정의할 수 있다.

1. 어떤 n개의 임의 실수 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 가 주어졌을 때, 다항식 $\prod _{i=1}^{n}(x+a_{i})$에서 $x^{n-i}$ 의 계수를 i-번째 기본대칭함수라 하고, $\sigma _{i}$ 로 쓴다.
2. 이때, i-번째 기본대칭평균 $S_{i}$는 $S_{i}:={\frac {\sigma _{i}}{\binom {n}{i}}}$ 로 정의한다.

공식화

위와 같은 기본대칭평균 개념을 이용하여, 임의의 실수 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 에 대하여 이 기본대칭평균을 $S_{0},S_{1},...,S_{n}$ 이라 할 때 뉴턴의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

• 모든 $n>i,i\in N$에 대하여 $S_{i-1}S_{i+1}\leq S_{i}^{2}$

같이 보기

• 매클로린의 부등식
• 뮤어헤드의 부등식

참고 문헌

• 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008