단사 가군

환론에서 단사 가군(單射加群, 영어: injective module)은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $Q$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다.

• 임의의 짧은 완전열 $0\to Q\to M\to K$은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$에 대하여 $Q\subset M$이라면, $M=Q\oplus N$인 부분 가군 $K\subset M$이 존재한다.
• $Q$는 범주 $R{\text{-Mod}}$의 단사 대상이다. 즉, 함자 $\hom(-,Q)\colon R{\text{-Mod}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$은 완전 함자이다.
• 임의의 가군 준동형 $f\colon M\to Q$ 및 단사 가군 준동형 $\iota \colon M\hookrightarrow {\tilde {M}}$에 대하여, ${\tilde {f}}\circ \iota =f$인 가군 준동형 ${\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}\to Q$가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

  ${\begin{matrix}0&\to &M&\to &{\tilde {M}}\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}$

• (베어 조건 영어: Baer’s criterion) 임의의 왼쪽 아이디얼 $I\subseteq R$ 및 가군 준동형 $f\colon I\to Q$에 대하여, ${\tilde {f}}|_{I}=f$인 가군 준동형 ${\tilde {F}}\colon R\to Q$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}0&\to &I&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}$

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

성질

임의의 왼쪽 가군들의 집합 $\{M_{i}\}_{i\in I}$에 대하여, 다음이 동치이다.

• 직접곱 $\prod _{i\in I}M_{i}$이 단사 왼쪽 가군이다.
• 모든 $i\in I$에 대하여 $M_{i}$가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem에 따르면, 임의의 환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:80–81, Theorem 3.46}

• $R$는 왼쪽 뇌터 환이다.
• $R$의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
• $R$의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
• $R$의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

분류

단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

데데킨트 정역

데데킨트 정역 $D$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 $D$에 대하여, $D$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 $D$ 위의 소 아이디얼들의 집합 $\operatorname {Spec} D$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

• 만약 ${\mathfrak {p}}\neq (0)$일 경우: $R_{\mathfrak {p}}/R$
• 만약 ${\mathfrak {p}}=(0)$일 경우: 분수체 $R_{(0)}=\operatorname {Frac} R$

여기서 $R_{\mathfrak {p}}$는 $R\setminus {\mathfrak {p}}$에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 $\operatorname {Frac} D=R_{(0)}$는 $D$의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 $(0)\subset D$에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

• 유리수체의 덧셈군 $\mathbb {Q} =\operatorname {Frac} D$
• 소수 $p$에 대하여, 프뤼퍼 군 $\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} _{(p)}/\mathbb {Z}$

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

뇌터 가환환

뇌터 가환환 $R$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 $R$에 대하여, $R$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 $R$ 위의 소 아이디얼들의 집합 $\operatorname {Spec} R$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 $R/{\mathfrak {p}}$의 단사 폐포(영어: injective hull, $R/{\mathfrak {p}}$를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. $R/{\mathfrak {p}}$의 단사 폐포는 표준적으로 $R_{\mathfrak {p}}$-가군을 이루며, $R/{\mathfrak {p}}$의 $R$-가군으로서의 단사 폐포는 $R/{\mathfrak {p}}$의 $R_{\mathfrak {p}}$-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

예

자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다.

임의의 정역 $R$ 위에서, $R$를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 $\operatorname {Frac} R$이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

스스로 위의 가군으로서의 환

몫환 $\mathbb {Z} /(n)$은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 $D$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subsetneq D$에 대하여 ($D\neq {\mathfrak {a}}$), $D/{\mathfrak {a}}$는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

역사

라인홀트 베어(독일어: Reinhold Baer, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다. 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

참고 문헌

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 

외부 링크

• “Injective module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Injective module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Injective module”. 《nLab》 (영어). 
• “Baer's criterion”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 사영 가군
• 단사 대상
• 나눗셈군
• 단사층