프로베니우스 대수

추상대수학에서 프로베니우스 대수(영어: Frobenius algebra)는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 $_{A}A_{A}$을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군

$A^{\vee }=\hom _{K}(A,K)$

역시 스스로 위의 쌍가군 $_{A}{A^{\vee }}_{A}$을 이룬다. 구체적으로,

$a\cdot \phi \cdot b\colon x\mapsto \phi (bxa)$

이다.

그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$-왼쪽 가군의 동형 $_{A}A\cong {}_{A}A^{\vee }$이 존재한다.
• $A$-오른쪽 가군의 동형 $A_{A}\cong {A^{\vee }}_{A}$이 존재한다.

증명:

왼쪽 가군의 동형

$\lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee }$

이 주어졌다고 하자. 즉,

$\lambda (a)(x)=\lambda (a,x)$

에 대하여,

$\lambda (a,xb)=\lambda (ba,x)$

라고 하자. 그렇다면,

$\rho \colon A\to A^{\vee }$

$\rho (a)(x)=\lambda (x,a)$

를 정의하면,

$(\rho (a)\cdot b)(x)=\rho (a)(bx)=\lambda (bx,a)=\lambda (x,ab)=\rho (ab)(x)$

이므로, $\rho$는 오른쪽 가군의 동형이다.

반대 방향의 함의도 마찬가지다.

또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 $A$가 유한 차원 $K$-벡터 공간인 것이다.

이러한 동형이 갖추어진 $K$-결합 대수를 프로베니우스 대수라고 한다.

프로베니우스 대수 $(A,\lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee })$가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선,

$\langle a,b\rangle =\lambda (1)(ab)$

를 정의하자. 그렇다면,

$\langle ac,b\rangle =\lambda (1)(acb)=\langle a,cb\rangle$

이 성립한다. $\lambda$가 벡터 공간의 동형이므로, $\langle -,-\rangle$는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 프로베니우스 형식이라고 한다.

또한, 대각합

$\operatorname {tr} \colon A\to k$

$\operatorname {tr} \colon a\mapsto \lambda (1)(a)$

을 정의할 수 있다.

만약 $\operatorname {tr} (ab)=\operatorname {tr} (ba)$라면, $V$를 대칭 프로베니우스 대수(영어: symmetric Frobenius algebra)이라고 한다.

가환환인 프로베니우스 대수를 가환 프로베니우스 대수(영어: commutative Frobenius algebra)라고 한다.

프로베니우스 대상

보다 일반적으로 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes ,1)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 $({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} },\otimes ,1)$ 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다.

${\mathcal {C}}$ 속의 프로베니우스 대상(영어: Frobenius object)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모노이드 대상 $(A,\mu \colon A\otimes A\to 1,\eta \colon 1\to A)$
• 쌍대 모노이드 대상 (즉, ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$의 모노이드 대상) $(A,\delta \colon A\to A\otimes A,\eta \colon A\to 1)$

이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.

${\begin{matrix}&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\color {White}^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\searrow {\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\\A^{\otimes 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\mu }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\delta }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A^{\otimes 2}\\&{\!\!\!\!_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!}\searrow {\color {White}_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\\&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)

위상 양자장론과의 관계

바지 곡면(영어: pair of pants). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다.

2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.^:24–27 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

기호	가환 프로베니우스 대수	2차원 위상 양자장론
$V$	프로베니우스 대수	원 $S^{1}$의 힐베르트 공간 $E(S^{1})$
$\langle \cdot ,\cdot \rangle$	프로베니우스 형식	힐베르트 공간의 내적
$\cdot \colon V\times V\to V$	곱셈	바지 곡면(en:pair of pants (mathematics))의 분배 함수
$1\in V$	곱셈의 단위원	원판의 분배 함수 $Z(D^{2})\in E(\partial D^{2})=E(S^{1})$

예

체 $K$ 위의 행렬환 $\operatorname {Mat} (n;K)$ 위의 임의의 부분환 $R\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)$이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식

$\langle a,b\rangle =\operatorname {tr} (ab)$

을 주면, 이는 $K$ 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. $n>1$이면 이는 가환 대수가 아니다.

모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.

군환

임의의 유한군 $G$에 대하여, 군환 $K[G]$ 위에 프로베니우스 형식

$\langle a,b\rangle =\operatorname {proj} _{K1_{G}}(ab)$

을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 $\operatorname {proj} _{K1_{G}}\colon K[G]\to K$는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉,

$\left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{h\in G}b_{h}h\right\rangle =\sum _{g\in G}a_{g}b_{g^{-1}}$

이다. 이 경우, 대각합은

$\operatorname {tr} \colon \sum _{g\in G}a_{g}g\mapsto a_{1}$

이다.

표현환

유한군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 유리수 계수 유니터리 표현환

$A=\operatorname {RU} (G)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$

위에 프로베니우스 형식

$\langle \rho ,\rho '\rangle =\operatorname {proj} _{1}\rho \otimes \rho '$

를 부여하자. 여기서

$\operatorname {proj} _{1}\colon A\to \mathbb {Q}$

은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우

$\langle \rho _{1}\otimes \rho _{2},\rho _{3}\rangle =\langle \rho _{1},\rho _{2}\otimes \rho _{3}\rangle$

은 $\rho _{1}\otimes \rho _{2}\otimes \rho _{3}$의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.

역사 및 어원

리하르트 브라우어와 세실 네스빗(영어: Cecil J. Nesbitt)이 1937년 도입하였고, 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Skowroński, Andrzej; Kunio Yamagata (2011). 《Frobenius algebras I: Basic representation theory》. EMS Textbooks in Mathematics (영어). European Mathematical Society. doi:10.4171/102. ISBN 978-3-03719-102-6. MR 2894798. Zbl 05988530. 
• Kock, Joachim (2003). 《Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories》 (PDF). London Mathematical Society Student Texts (영어) 59. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615443. ISBN 978-0-52183267-0. Zbl 1046.57001. 2013년 9월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 9월 22일에 확인함. 
• Sawin, Stephen (1995년 12월). “Direct sum decompositions and indecomposable TQFTs” (영어) 36 (12): 6673–6680. arXiv:q-alg/9505026. Bibcode:1995q.alg.....5026S. doi:10.1063/1.531180. ISSN 0022-2488. 

외부 링크

• “Frobenius algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Baez, John (2008년 8월 6일). “Week 268”. 《This Week’s Finds in Mathematical Physics》 (영어). 2013년 9월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 9월 22일에 확인함. 
• Baez, John (2010년 6월 12일). “Week 299”. 《This Week’s Finds in Mathematical Physics》 (영어). 2013년 9월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 9월 22일에 확인함.