(
s
,
t
)
{\displaystyle (s,t)}
실수 벡터 공간
R
s
,
t
{\displaystyle \mathbb {R} ^{s,t}}
Cl
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}
{
γ
i
,
γ
j
}
=
2
η
i
j
{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=2\eta ^{ij}}
에서,
η
{\displaystyle \eta }
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
γ
{\displaystyle \gamma }
Cl
+
(
s
,
t
)
⊆
Cl
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)\subseteq \operatorname {Cl} (s,t)}
그렇다면, 실수 클리퍼드 대수
Cl
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}
(
s
−
t
)
mod
8
{\displaystyle (s-t){\bmod {8}}}
Cl
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}
Cl
+
(
s
;
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s;t)}
스피너의 성질
감마 행렬의 성질
±4
Mat
(
N
/
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}
Mat
(
N
/
4
;
H
)
⊕
Mat
(
N
/
4
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )}
바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너)
복소수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
+3
Mat
(
N
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}
Mat
(
N
/
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)
복소수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
+2
Mat
(
N
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}
Mat
(
N
/
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}
마요라나 스피너, 바일 스피너
실수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
+1
Mat
(
N
;
R
)
⊕
Mat
(
N
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}
Mat
(
N
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}
마요라나 스피너
실수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
±0
Mat
(
N
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}
Mat
(
N
/
2
;
R
)
⊕
Mat
(
N
/
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )}
마요라나-바일 스피너
실수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
−1
Mat
(
N
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}
Mat
(
N
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}
마요라나 스피너
허수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
−2
Mat
(
N
/
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}
Mat
(
N
/
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}
마요라나 스피너, 바일 스피너
허수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
−3
Mat
(
N
/
2
;
H
)
⊕
Mat
(
N
/
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}
Mat
(
N
/
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)
복소수
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
여기서
N
(
s
,
t
)
=
2
⌊
(
s
+
t
)
/
2
⌋
{\displaystyle N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }}
는 디랙 스피너 의 복소수 차원이며,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
실수체 , 복소수체 , 사원수 대수 를 뜻한다.
위 표에서,
Cl
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}
∈
{
R
,
C
,
H
}
{\displaystyle \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}}
계수가
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
s
−
t
∈
{
0
,
6
,
7
}
{\displaystyle s-t\in \{0,6,7\}}
Pin
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Pin} (s,t)}
마요라나 피너 (영어 : Majorana pinor )라고 한다.
만약 계수가
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Cl
(
t
,
s
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (t,s)}
유사 마요라나 피너 (영어 : pseudo-Majorana pinor )라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
계수가
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
2
k
{\displaystyle 2k}
2
k
{\displaystyle 2k}
k
{\displaystyle k}
사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너 (영어 : symplectic-Majorana pinor )라고 한다.
Cl
+
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)}
디랙 스피너의 실수 조건
편집
n
{\displaystyle n}
디랙 피너 (영어 : Dirac pinor )는 복소수 클리퍼드 대수
Cl
(
n
;
C
)
=
{
Mat
(
N
;
C
)
2
∤
n
Mat
(
N
/
2
;
C
)
⊕
Mat
(
N
/
2
;
C
)
2
∣
n
{\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )={\begin{cases}\operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )&2\nmid n\\\operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )&2\mid n\end{cases}}}
N
=
2
⌊
n
/
2
⌋
{\displaystyle N=2^{\lfloor n/2\rfloor }}
의
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
N
/
2
{\displaystyle N/2}
바일 피너 (영어 : Weyl pinor )로 분해된다.
복소수 클리퍼드 대수
Cl
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )}
에르미트 형식
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
을 가지며, 이는
⟨
γ
μ
ψ
|
χ
⟩
=
±
⟨
ψ
|
γ
μ
χ
⟩
{\displaystyle \langle \gamma ^{\mu }\psi |\chi \rangle =\pm \langle \psi |\gamma ^{\mu }\chi \rangle }
를 만족시킨다. (여기서
±
{\displaystyle \pm }
n
{\displaystyle n}
이제, 어떤 부호
τ
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \tau \in \{\pm 1\}}
쌍선형 형식
C
{\displaystyle {\mathsf {C}}}
C
(
γ
μ
ψ
,
χ
)
=
±
C
(
ψ
,
γ
μ
χ
)
{\displaystyle {\mathsf {C}}(\gamma ^{\mu }\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\psi ,\gamma ^{\mu }\chi )}
C
(
ψ
,
χ
)
=
±
C
(
χ
,
ψ
)
{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\chi ,\psi )}
복부호 동순 이 아님)이 경우, 만약
C
{\displaystyle {\mathsf {C}}}
C
{\displaystyle {\mathsf {C}}}
만약 디랙 피너 공간
V
{\displaystyle V}
C
(
ψ
,
−
)
=
⟨
ψ
|
−
⟩
∈
V
∗
{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}
를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너 라고 한다.
만약 디랙 피너 공간
V
{\displaystyle V}
C
(
ψ
,
−
)
=
⟨
ψ
|
−
⟩
∈
V
∗
{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}
를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간
(
W
,
Ω
)
{\displaystyle (W,\Omega )}
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
C
(
ψ
,
−
)
=
⟨
Ω
ψ
,
−
⟩
{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \Omega \psi ,-\rangle }
를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너 라고 한다.
감마 행렬의 실수성
편집
마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬 이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬 이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.
물리학적 성질
편집
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.
만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너 로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.
1차원에서는
Cl
(
1
,
0
)
=
Mat
(
1
;
C
)
=
C
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} }
Cl
(
0
,
1
)
=
Mat
(
1
;
R
)
⊕
Mat
(
1
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,1)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )}
이다. 즉, 부호수가
(
s
,
t
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle (s,t)=(1,0)}
γ
0
=
(
1
)
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}
이다.
2차원에서는
SO
(
2
;
R
)
≅
U
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {U} (1)}
SO
(
1
,
1
;
R
)
≅
R
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {R} }
이며, 이 경우 클리퍼드 대수 는
Cl
(
1
,
1
)
=
Cl
(
0
,
2
)
=
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,1)=\operatorname {Cl} (0,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
Cl
(
2
,
0
)
=
Mat
(
1
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {H} )}
이다. 즉, 부호수
(
t
,
s
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle (t,s)=(1,1)}
γ
0
=
i
σ
2
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
γ
1
=
σ
3
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
로 놓으면,
{
γ
0
,
γ
0
}
=
−
1
{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-1}
{
γ
1
,
γ
1
}
=
1
{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=1}
{
γ
0
,
γ
1
}
=
0
{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1}\}=0}
이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
마찬가지로, 부호수
(
s
,
t
)
=
(
0
,
2
)
{\displaystyle (s,t)=(0,2)}
γ
1
=
σ
1
{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}}
γ
2
=
σ
3
{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}}
로 놓으면,
{
γ
1
,
γ
1
}
=
{
γ
2
,
γ
2
}
=
1
{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=1}
{
γ
1
,
γ
2
}
=
0
{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{2}\}=0}
이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
Cl
(
0
,
3
)
=
H
⊕
H
{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,3)=\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }
Cl
(
1
,
2
)
=
Mat
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}
Cl
(
2
,
1
)
=
Mat
(
2
;
R
)
⊕
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,1)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
Cl
(
3
,
0
)
=
Mat
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,0)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}
부호수
(
s
,
t
)
=
(
2
,
1
)
{\displaystyle (s,t)=(2,1)}
γ
0
=
i
σ
2
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
γ
1
=
σ
1
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
γ
2
=
σ
3
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상
Spin
(
2
,
1
)
≅
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
에서 비롯한다.
마찬가지로,
(
s
,
t
)
=
(
1
,
2
)
{\displaystyle (s,t)=(1,2)}
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
(
t
,
s
)
=
(
0
,
3
)
{\displaystyle (t,s)=(0,3)}
(
3
,
0
)
{\displaystyle (3,0)}
파울리 행렬
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
{\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}}
은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.
다만, 부호수
(
s
,
t
)
=
(
0
,
3
)
{\displaystyle (s,t)=(0,3)}
리 군 의 동형 사상
Spin
(
3
)
≅
USp
(
1
;
R
)
=
U
(
1
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {USp} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}
에서 유래한다. 즉, 부호수
(
s
,
t
)
=
(
0
,
3
)
{\displaystyle (s,t)=(0,3)}
사원수 감마 행렬
γ
−
2
=
(
i
)
{\displaystyle \gamma ^{-2}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \end{pmatrix}}}
γ
−
1
=
(
j
)
{\displaystyle \gamma ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {j} \end{pmatrix}}}
γ
0
=
(
k
)
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathrm {k} \end{pmatrix}}}
를 정의하면,
{
γ
−
2
,
γ
−
2
}
=
{
γ
−
1
,
γ
−
1
}
=
{
γ
0
,
γ
0
}
=
−
2
{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-2}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}
{
γ
−
2
,
γ
−
1
}
=
{
γ
−
1
,
γ
0
}
=
{
γ
0
,
γ
−
2
}
=
0
{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{0}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{-2}\}=0}
이다.
4차원에서의 클리퍼드 대수 는 다음과 같다.
Cl
(
4
,
0
)
≅
Cl
(
0
,
4
)
≅
Mat
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (4,0)\cong \operatorname {Cl} (0,4)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}
Cl
(
1
,
3
)
≅
Cl
(
2
,
2
)
≅
Mat
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,3)\cong \operatorname {Cl} (2,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}
Cl
(
3
,
1
)
≅
Mat
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,1)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}
즉,
부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간 )는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간 )는 마요라나 스피너가 존재한다.
부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 예를 들어,
(
s
,
t
)
=
(
3
,
1
)
{\displaystyle (s,t)=(3,1)}
민코프스키 공간 ),
γ
0
=
(
0
1
2
×
2
−
1
2
×
2
0
)
=
i
σ
2
⊗
1
2
×
2
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&1_{2\times 2}\\-1_{2\times 2}&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}
γ
1
=
(
1
2
×
2
0
0
−
1
2
×
2
)
=
σ
3
⊗
1
2
×
2
{\displaystyle \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}
γ
2
=
(
0
σ
1
σ
1
0
)
=
σ
1
⊗
σ
1
{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}
γ
3
=
(
0
σ
3
σ
3
0
)
=
σ
1
⊗
σ
3
{\displaystyle \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{3}\\\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{3}}
는 순수 실수 감마 행렬 을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수 의 동형
o
(
3
,
1
)
≅
sl
(
2
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\cong \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}
에서 유래한다. 여기서
⊗
{\displaystyle \otimes }
크로네커 곱 이다.
부호수가
(
s
,
t
)
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle (s,t)=(2,2)}
실수 리 대수 동형
o
(
2
,
2
)
≅
s
l
(
2
,
R
)
⊕
s
l
(
2
,
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}
이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,
γ
−
1
=
σ
1
⊗
i
σ
2
{\displaystyle \gamma ^{-1}=\sigma ^{1}\otimes \mathrm {i} \sigma ^{2}}
γ
0
=
i
σ
2
⊗
1
2
×
2
{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}
γ
1
=
σ
3
⊗
1
2
×
2
{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}
γ
2
=
σ
1
⊗
σ
1
{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}
를 적으면,
{
γ
−
1
,
γ
−
1
}
=
{
γ
0
,
γ
0
}
=
−
2
{\displaystyle \{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}
{
γ
1
,
γ
1
}
=
{
γ
2
,
γ
2
}
=
2
{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=2}
{
γ
i
,
γ
j
}
=
0
(
i
≠
j
)
{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=0\qquad (i\neq j)}
이다.
부호수
(
s
,
t
)
=
(
4
,
0
)
{\displaystyle (s,t)=(4,0)}
Spin
(
4
)
≅
U
(
1
;
H
)
×
U
(
1
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}
에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.
5차원에서 클리퍼드 대수 는 다음과 같다.
Cl
(
3
,
2
)
≅
Mat
(
4
;
R
)
⊕
Mat
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}
Cl
(
0
,
5
)
≅
Cl
(
2
,
3
)
≅
Cl
(
1
,
4
)
≅
Mat
(
4
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,5)\cong \operatorname {Cl} (2,3)\cong \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )}
Cl
(
1
,
4
)
≅
Cl
(
2
;
C
)
⊕
Cl
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )}
즉, 부호수가
(
s
,
t
)
=
(
3
,
2
)
{\displaystyle (s,t)=(3,2)}
5차원 회전군 의 특수한 동형
Spin
(
3
,
2
)
≅
Sp
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (3,2)\cong \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}
에서 기인한다.
다른 부호수의 경우,
Spin
(
4
,
1
)
≅
USp
(
2
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (4,1)\cong \operatorname {USp} (2,2)}
Spin
(
5
)
≅
USp
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}
으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.
6차원에서 실수 클리퍼드 대수 는 다음과 같다.
Cl
(
0
,
6
)
=
Cl
(
3
,
3
)
=
Cl
(
4
,
2
)
=
Mat
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,6)=\operatorname {Cl} (3,3)=\operatorname {Cl} (4,2)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {R} )}
Cl
(
1
,
5
)
=
Cl
(
2
,
4
)
=
Cl
(
6
,
0
)
=
Mat
(
4
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,5)=\operatorname {Cl} (2,4)=\operatorname {Cl} (6,0)=\operatorname {Mat} (4;\mathbb {H} )}
Cl
(
5
,
1
)
=
Mat
(
8
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (5,1)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {C} )}
즉, 부호수
(
s
,
t
)
=
(
0
,
6
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
2
)
{\displaystyle (s,t)=(0,6),(3,3),(4,2)}
실수 리 대수 의 동형
o
(
6
;
R
)
≅
s
u
(
4
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(4;\mathbb {C} )}
o
(
3
,
3
;
R
)
≅
s
l
(
4
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}
o
(
2
,
4
)
≅
su
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,4)\cong \operatorname {su} (2,2)}
에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수 의 동형
s
l
(
1
,
5
)
≅
s
u
∗
(
4
)
=
s
l
(
2
;
H
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(1,5)\cong {\mathfrak {su}}^{*}(4)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )}
로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
