말리아뱅 미분

확률론에서, 말리아뱅 미분(Malliavin微分, 영어: Malliavin derivative)은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다.^:§6 말리아뱅 미분은 바나흐 공간의 프레셰 미분과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반은 스코로호드 적분(Скороход積分, 영어: Skorohod integral)이라고 하며, 이는 이토 적분의 일반화이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 위너 공간 $(E,H,\mu )$
• 연속 함수 $f\colon E\to \mathbb {R}$
• 원소 $x\in E$
• 원소 $y\in H$

그렇다면, 만약 다음 조건이 성립한다면, $F$가 $x$에서 말리아뱅 미분 가능하다고 하며, $F$의 $x$에서의 말리아뱅 미분이 $y$라고 한다.^{:Definition 6.3}

힐베르트 내적 위상에서 0으로 수렴하는 임의의 열 $(z_{i})_{i=0}^{\infty }\to 0$에 대하여 ($z_{i}\neq 0\forall i\in \mathbb {N}$),

$\lim _{i\to \infty }{\frac {f(x+z_{i})-f(x)-\langle y,z_{i}\rangle _{H}}{\sqrt {\langle z_{i},z_{i}\rangle }}}\to 0$

이를

$y=\mathrm {D} _{x}f$

로 표기한다.

성질

말리아뱅 미분은 다음과 같은 꼴의 비(非)유계 연산자를 이룬다.

$\mathrm {D} \colon (\operatorname {dom} D\subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\to \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;H)$

$\mathrm {D} \colon f\mapsto (x\mapsto \mathrm {D} _{x}f\in H)$

여기서, 말리아뱅 미분의 정의역

$\operatorname {dom} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )$

은 힐베르트 공간 $\operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )$의 조밀 집합인 부분 벡터 공간이다. 또한, 이는 닫힌 작용소이다. 즉, 그 그래프

$\operatorname {graph} \mathrm {D} =\{(f,\mathrm {D} f)\colon f\ in\operatorname {dom} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\oplus \operatorname {L} ^{2}(W;H)$

는 $\operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\oplus \operatorname {L} ^{2}(W;H)$ 속의 닫힌집합이다.

스코로호드 적분

말리아뱅 미분은 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이므로, 말리아뱅 미분의 에르미트 수반

$\delta \colon (\operatorname {im} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;H))\to \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )$

를 정의할 수 있으며, 이 역시 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이다. 이를 스코로호드 적분이라고 한다.

이토 적분은 스코로호드 적분의 특수한 경우이다.

역사

말리아뱅 적분은 프랑스의 수학자 폴 말리아뱅(프랑스어: Paul Malliavin, IPA: [pɔl maljavɛ̃])이 도입하였다. 스코로호드 적분은 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어: Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д, 러시아어: Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트^[*], 1930〜2011)가 도입하였다.

외부 링크

• “Malliavin calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Skorokhod integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.