몰입 (수학)

미분기하학에서, 몰입(沒入, 영어: immersion) 또는 넣기는 두 매끄러운 다양체 사이, 정의역의 접공간으로부터 공역의 접공간에 대한 사상이 단사인 매끄러운 사상이다.

클라인 병의 3차원 유클리드 공간에서의 몰입. 하지만 이는 매장이 아니다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 매끄러운 다양체 $M$, $N$
• 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$

그렇다면, 각 점 $x\in M$에서, 실수 선형 변환

$\mathrm {T} _{x}f\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{f(x)}N$

을 정의할 수 있다. 여기서 $\mathrm {T} _{x}M$은 $M$의 $x$에서의 접공간이다.

만약 $\mathrm {T} _{x}f$가 단사 함수라면, $f$를 $x$에서의 몰입이라고 한다. 만약 $f$가 모든 $x\in M$에서 몰입이라면, $f$를 단순히 몰입이라고 한다.

(반대로, 만약 $\mathrm {T} _{x}f$가 전사 함수라면 $f$를 침몰이라고 한다.)

성질

함의 관계

몰입은 매끄러운 매장보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 매끄러운 매장은 몰입이지만 그 역은 성립하지 않는다.

즉, 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수에 대하여 다음이 성립한다.

매끄러운 매장 ⊆ 단사 몰입 ⊆ 몰입 ⊆ 매끄러운 함수

존재

$m$차원 매끄러운 다양체 $M\neq \varnothing$과 $n$차원 매끄러운 다양체 $N\neq \varnothing$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

• 몰입 $M\to N$이 존재할 필요 조건은 $m\leq n$이다.
• 몰입 $M\to N$이 존재할 충분 조건은 $2m\leq n+\min\{2,n\}$이다.

특히, 휘트니 몰입 정리(Whitney沒入定理, 영어: Whitney immersion theorem)에 따르면, 만약 $2m\leq n+2$이라면, 임의의 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$은 몰입과 호모토픽하다. 만약 가정을 $2m\leq n+1$로 강화시킨다면, 결론을 몰입 대신 매끄러운 매장으로 강화시킬 수 있으며, 이를 휘트니 매장 정리(Whitney埋藏定理, 영어: Whitney embedding theorem)라고 한다.

단사성

두 매끄러운 다양체 $M$, $N$ 사이의 몰입 $f\colon M\to N$이 주어졌다고 하자. 만약 $M$이 연결 공간이자 콤팩트 공간이라면, $f$는 단사 함수이다.

예

클라인 병은 3차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{3}$에 몰입될 수 있지만, 매끄럽게 매장될 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 위상 동형이 아니기 때문이다.

매장이 아닌 단사 몰입

매장이 아닌 단사 몰입

심지어, 매끄러운 매장이 아닌 단사 몰입도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 $(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ 몰입을 생각해 보자. 이는 명백히 단사 함수지만, 상이 정의역과 위상 동형이 아니므로 매끄러운 매장이 아니다.

단사 함수가 아닌 몰입

임의의 매끄러운 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 쌍대 대각 사상

$M^{\sqcup n}\to M$

은 몰입이지만, $n\geq 2$일 경우 단사 함수가 아니다.

1차원 유클리드 공간(실수선)의 몫

$\mathbb {R} \twoheadrightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathbb {S} ^{1}$

은 몰입이지만, 단사 함수가 아니다. 보다 일반적으로, 매끄러운 다양체의 피복 공간인 매끄러운 다양체

$M\twoheadrightarrow N$

은 전사 함수인 몰입이며, 2겹 이상의 피복 공간일 경우 단사 함수가 아니다.

외부 링크

• “Immersion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Immersion of a manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Immersion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Immersion of smooth manifolds”. 《nLab》 (영어).