사다리 연산자

양자역학에서 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의

주어진 에르미트 연산자 $N$에 대하여, 연산자 $X$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$를 $N$의 사다리 연산자라고 한다.

$[N,X]=cX$

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

${\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}$

즉,

$X|n\rangle \sim |n+c\rangle$

이다. c 가 양수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$를 올림 연산자, c가 음수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$의 에르미트 수반 연산자 $X^{\dagger }$ 또한 사다리 연산자이며

$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }$

고유벡터의 고유값을 $X$의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, $N$의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, $c<0$이며 $N$의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n_{\text{max}}\rangle$가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 $X$를 사용하여

$|n\rangle ,X|n\rangle ,X^{2}|n\rangle ,\cdots$

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자$X^{\dagger }$를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예

양자 조화 진동자

 이 부분의 본문은 양자 조화 진동자입니다.

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

$[x,p]=i$

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 $a$와 생성 연산자 $a^{\dagger }$ 및 입자수 연산자 $N$을 다음과 같이 정의하자.

$a=(x+ip)/{\sqrt {2}}$

$a^{\dagger }=(x-ip)/{\sqrt {2}}$

$N=a^{\dagger }a$

여기서 $N$은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, $x$와 $p$는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

$[N,a]=-a$

$[H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }$

$[a,a^{\dagger }]=1$

이다. 따라서, $N$의 고유벡터 $|n\rangle$이 주어지면

$a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle$

$a|n\rangle \propto |n-1\rangle$

$N|n\rangle =n|n\rangle$

이 된다. 즉, 바닥 상태 $|0\rangle$으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

${\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|0\rangle ,a^{\dagger }|0\rangle ,(a^{\dagger })^{2}|0\rangle ,\dots \right\}$

각운동량

 이 부분의 본문은 각운동량 연산자입니다.

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 $J_{1},J_{2},J_{3}$은 SU(2)의 리 대수

$[J_{i},J_{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{k}$

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

$J_{+}=J_{1}+iJ_{2}$,

$J_{-}=J_{1}-iJ_{2}=(J_{+})^{\dagger }$

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

$[J_{3},J_{\pm }]=\pm J_{\pm }$

따라서, 상태들을 $J_{3}$의 고유상태 $|m\rangle$로 나타내면,

$J_{\pm }|m\rangle \propto |m\pm 1\rangle$

이 된다. 최고 스핀 상태 $|l\rangle$는 $J_{+}$로 상쇄되는 상태이다.

$J_{+}|l\rangle =0$

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

${\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|l\rangle ,J_{-}^{\dagger }|0\rangle ,(J_{-})^{2}|0\rangle ,\dots \right\}$

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, $l$은 정수 또는 반정수이며, 또한

$(J_{-})^{2l+1}|l\rangle =0$

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 $2l\in \mathbb {N}$에 의해 결정되며, 그 차원은 $2l+1$이다.

단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수

 이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.

 이 부분의 본문은 등각 장론입니다.

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }$

$[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }$

$[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })$

$[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

따라서, $-iD$에 대하여,

$[-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }$

$[-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }$

이므로, 특수 등각 변환 $K$는 내림 연산자, 운동량 $P$는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 $D$가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. $K$에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 $D$와 $M_{\mu \nu }$에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 $P$를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.

비라소로 대수

 이 부분의 본문은 2차원 등각 장론입니다.

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{m+n}\quad (m,n\in \mathbb {Z} )$

따라서, $L_{0}$에 대하여, $L_{n}$은 내림 연산자, $L_{-n}$은 올림 연산자이다 ($n>0$).

$[L_{0},L_{n}]=-nL_{n}$

$[L_{0},L_{-n}]=nL_{-n}$

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state) $|h\rangle$로 알려져 있으며, $L_{0}$의 고윳값 $h$로 나타내어진다.

$L_{0}|h\rangle =h|h\rangle$

$L_{n}|h\rangle =0\forall n>0$

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 $L_{-n}$을 가하여 만들 수 있다.

${\mathcal {H}}_{h}=\operatorname {Span} \{|h\rangle ,L_{-1}|h\rangle ,L_{-1}^{2}|h\rangle ,L_{-2}|h\rangle ,L_{-1}^{3}|h\rangle ,\dots \}$

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.