부합 (그래프 이론)

그래프 이론에서 부합(附合, 영어: matching 매칭^[*])은 서로 만나지 않는 변들의 집합이다.

최대 부합이 아닌 극대 부합의 예. 부합에 포함된 변들을 붉은 색으로 굵게 표시하였다.

최대 부합의 예. 부합에 포함된 변들을 붉은 색으로 굵게 표시하였다. 이 가운데 (왼쪽부터) 둘째는 완벽 부합이지만, 첫째와 셋째는 완벽 부합이 아닌 최대 부합이다.

정의

그래프 $\Gamma$의 부합 $M\subseteq E(\Gamma )$은 다음을 만족시키는, 변들의 부분 집합이다.

• 임의의 $e_{1},e_{2}\in M$에 대하여, $e_{1}$과 $e_{2}$가 하나 이상의 꼭짓점을 공유한다면 $e_{1}=e_{2}$이다.

$\Gamma$의 부합들은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서에 대하여 극대인 부합을 극대 부합(영어: maximal matching)이라고 한다. 최대 부합(영어: maximum matching)은 극대 부합 가운데, 변의 수가 최대인 부합이다.

완벽 부합

완벽 부합(完璧附合, 영어: perfect matching)은 모든 꼭짓점을 덮는 부합이다. 따라서 완벽 부합은 꼭짓점이 짝수 개인 경우에만 존재할 수 있다. 완벽 부합은 당연히 최대 부합이다.

• 
  완벽 부합의 예
• 
  페테르센 그래프 속에서, 붉게 칠해진 변들은 완벽 부합을 이룬다. 보다 일반적으로, 모든 일반화 페테르센 그래프는 마찬가지로 완벽 부합을 갖는다.
• 
  데자르그 그래프 속에서, 붉은 색 · 푸른 색 · 녹색 변들은 각각 완벽 부합을 이룬다.

부합 다항식

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌으며, 그 가운데 크기(즉, 포함된 변의 수)가 $n$인 부합의 수를 $m_{n}$이라고 하자. 그렇다면, 그 생성 함수

$Z_{\Gamma }(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }m_{n}x^{n}y^{|\operatorname {V} (\Gamma )|-2n}\in \mathbb {Z} [x,y]$

를 $\Gamma$의 부합 다항식(附合多項式, 영어: matching polynomial)이라고 한다. (여기서 $m_{0}=1$이다.)

또한, 유한 그래프 $\Gamma$의 모든 부합의 수, 즉

$Z_{\Gamma }(1,1)$

를 $\Gamma$의 호소야 지표([細矢]指標, 영어: Hosoya index)라고 한다.

만약

$x\mapsto \exp(-\beta E_{2})$

$y\mapsto \exp(-\beta E_{1})$

로 치환하였을 때, 이는 단량체-이합체 모형의 분배 함수와 같다.

성질

(유한 또는 무한) 그래프 $\Gamma$ 위의 두 부합 $M,M'\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$에 대하여, 그래프

$\Gamma '=(M\setminus M')\cup (M'\setminus M)$

를 생각하자. 그렇다면, $\Gamma '$은 다음과 같은 종류의 연결 성분들로만 구성된다.

• 짝수 길이의 순환 그래프 $C_{2n}$. 또한, 그 변들은 번갈아 가며 $M$에 속하거나 $M'$에 속하게 된다.
• 유한한 길이의 경로 그래프 $P_{k}$. 또한, 그 변들은 번갈아 가며 $M$에 속하거나 $M'$에 속하게 된다.
• 한 쪽의 끝을 갖는 무한 경로 그래프 $P_{\infty }^{+}$. 또한, 그 변들은 번갈아 가며 $M$에 속하거나 $M'$에 속하게 된다.
• 끝점을 갖지 않는 무한 경로 그래프 $P_{\infty }^{\pm }$. 또한, 그 변들은 번갈아 가며 $M$에 속하거나 $M'$에 속하게 된다.

증명:

$\Gamma '$의 각 꼭짓점은 2개 또는 1개의 변에 인접하며, 2개의 변에 인접할 경우 그 가운데 하나는 $M$에 속하며, 다른 하나는 $M'$에 속하게 된다. 이 조건을 만족시키는 연결 그래프는 위의 네 족 밖에 없다.

베르주 보조정리

왼쪽의 부합은 덧붙임 경로(붉은 색으로 표시)를 갖는다. 이를 사용하여, 오른쪽의 더 큰 부합을 만들 수 있다.

임의의 유한 그래프 $\Gamma$ 속의 부합 $M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$의 덧붙임 경로(영어: augmenting path)는 다음 조건을 만족시키는 경로 $(v_{0},v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{2n+1})$이다.

• 시작 꼭짓점 $v_{0}$ 및 끝 꼭짓점 $v_{2n+1}$은 $M$에 속한 변과 인접하지 않는다.
• 경로의 변들은 $M$에 속한 것과 속하지 않은 것들이 교대된다. 즉, 모든 $i$에 대하여, $(v_{2i},v_{2i+1})\not \in M$이지만, $(v_{2i+1},v_{2i+2})\in M$이다.

베르주 정리(영어: Berge’s lemma)에 따르면, 임의의 유한 그래프 $\Gamma$ 속의 부합 $M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 최대 부합이다.
• 덧붙임 경로를 갖지 않는다.

(다시 말해, 덧붙임 경로를 갖는 부합에는 덧붙임 경로를 “덧붙여서” 더 큰 부합을 만들 수 있다.)

증명 (덧붙임 경로의 존재 ⇒ 최대 부합이 아님):

유한 그래프 $\Gamma$와 그 속의 부합 $M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$ 및 그 덧붙임 경로 $P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M'=(M\setminus P)\cup (P\setminus M)$은 부합을 이루며, $|M'|=|M|+1$이다.

증명 (최대 부합이 아님 ⇒ 덧붙임 경로의 존재):

유한 그래프 $\Gamma$ 위의 두 부합 $M$, $M'$이 주어졌다고 하고, $|M|<|M'|$이라고 하자. 그렇다면, 그래프

$\Gamma '=(M\setminus M')\cup (M'\setminus M)$

를 생각하자. 이는 두 부합의 대칭차이므로, 경로 그래프 및 짝수 길이 순환 그래프로 구성된다. $|M|<|M'|$이므로, $\Gamma '$은 처음 및 끝 변이 $M'$에 속하는 홀수 길이의 경로 그래프 $P$를 포함한다. $P$는 $M$의 덧붙임 경로를 이룬다.

텃-베르주 공식

텃-베르주 공식(Tutte-Berge公式, 영어: Tutte–Berge formula)에 따르면, 유한 그래프 $\Gamma$의 최대 부합의 크기는 다음과 같다.

${\frac {1}{2}}\min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}\left(\operatorname {V} (\Gamma )+|U|-\operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)\right)$

여기서

• $\operatorname {V} (\Gamma )$는 $\Gamma$의 모든 꼭짓점들의 집합이다.
• $\textstyle \min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}$는 $\Gamma$의 모든 가능한 꼭짓점 집합에 대하여 취한 최솟값이다.
• $\Gamma \setminus U$는 $\Gamma$에서 $U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )$에 속한 꼭짓점 및 $U$와 인접하는 변들을 제거하여 얻는, $\Gamma$의 부분 그래프이다.
• $\operatorname {odd} (-)$는 어떤 그래프의 연결 성분 가운데, 홀수 개의 꼭짓점들을 갖는 연결 성분의 수이다.

특히, 만약 어떤 유한 그래프 $\Gamma$가 완벽 부합을 갖는 경우

${\frac {1}{2}}|\operatorname {V} (\Gamma )|={\frac {1}{2}}\min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}\left(\operatorname {V} (\Gamma )+|U|-\operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)\right)$

이므로, 임의의 $U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )$에 대하여

$|U|\geq \operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)$

이다. 이를 텃 정리(영어: Tutte’s theorem)라고 한다.

알고리즘

임의의 그래프의 호소야 지표를 계산하는 것은 샤프-P-완전 문제이므로, 매우 어렵다. 다만, 평면 그래프의 경우, 파프 방향을 사용하여 P 알고리즘이 가능하다.

예

완전 그래프 $K_{4}$의 모든 부합. 이는 10개의 부합을 가지므로, 그 호소야 지표는 10이며, 그 부합 다항식은 $y^{4}+6xy^{2}+3x^{2}$이다.

완전 그래프 $K_{n}$의 부합 다항식은 다음과 같이 에르미트 다항식 $\operatorname {H} _{n}$으로 주어진다.^{:258, §1}

$Z_{K_{n}}(-1,y)=\operatorname {H} _{n}(y)$

여기서

$\operatorname {H} _{n}(x)=\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}1$

이다.

마찬가지로, 완전 이분 그래프 $K_{m,n}$의 부합 다항식은 다음과 같은 (일반화) 라게르 다항식으로 주어진다.^{:261, §3}

$Z_{K_{m,n}}(-1,y)=n!\operatorname {L} _{n}^{(m-n)}(y^{2})$

역사

텃 정리는 윌리엄 토머스 텃이 1947년에 증명하였다. 이후 1958년에 클로드 자크 베르주가 이를 텃-베르주 공식으로 일반화하였다.

베르주 정리는 1957년에 프랑스의 수학자 클로드 자크 베르주(프랑스어: Claude Jacques Berge, 1926~2002)가 증명하였다.

호소야 지표는 일본의 화학자 호소야 하루오(일본어: 細矢 治夫, 1936~)가 1971년에 유기화학에서의 응용을 위하여 도입하였다.

외부 링크

• “One-factor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “One-factorization”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Matching polynomial of a graph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matching”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal independent edge set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum independent edge set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect matching”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Near-perfect matching”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matching number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matching polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matching-generating polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tutte’s theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.