사슬 호모토피
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 두 (공)사슬 복합체
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
사이의 두 (공)사슬 사상
f
,
g
:
C
→
D
{\displaystyle f,g\colon C\to D}
사이의 (공)사슬 호모토피 (영어 : (co)chain homotopy )는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치 이다.
같은 정의역 과 공역 을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 호모토픽 한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계 이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상
0
∈
hom
Ch
(
A
)
(
C
,
D
)
{\displaystyle 0\in \hom _{\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}(C,D)}
과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 널호모토픽 (공)사슬 사상이라고 한다.
호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 아벨 군 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 부분군 을 이룬다. 두 사슬 사상
f
,
g
:
C
→
D
{\displaystyle f,g\colon C\to D}
이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차
f
−
g
{\displaystyle f-g}
가 널호모토픽하다는 것과 동치 이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 동치류 들은 모든 사슬 사상들로 구성된 아벨 군 의, 널호모토픽 사슬 사상으로 구성된 부분군 에 대한 몫군 이다.
사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 사슬 복합체 호모토피 범주 (영어 : homotopy category of chain complexes )
K
(
A
)
{\displaystyle K({\mathcal {A}})}
라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화 하면 유도 범주
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
를 얻는다.
사슬 호모토피의 구체적 정의
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 두 사슬 복합체
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
사이의 두 사슬 사상
f
,
g
:
C
→
D
{\displaystyle f,g\colon C\to D}
사이의 사슬 호모토피
h
:
f
⇒
g
{\displaystyle h\colon f\Rightarrow g}
는 다음과 같은 같은 데이터로 주어진다.
각
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
에 대하여,
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 사상
h
i
:
C
i
→
D
i
+
1
{\displaystyle h_{i}\colon C_{i}\to D_{i+1}}
. (※이는 사슬 사상
C
[
1
]
→
D
{\displaystyle C[1]\to D}
를 일반적으로 이루지 않는다.)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
f
i
−
g
i
=
∂
i
D
∘
h
i
+
h
i
−
1
∘
∂
i
C
{\displaystyle f_{i}-g_{i}=\partial _{i}^{D}\circ h_{i}+h_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}}
이를 공사슬 복합체의 언어로 번역하면 다음과 같다. 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 두 공사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C^{\bullet }}
,
D
∙
{\displaystyle D^{\bullet }}
사이의 두 공사슬 사상
f
,
g
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f,g\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }}
사이의 공사슬 호모토피 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
각
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
에 대하여,
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 사상
h
i
:
C
i
→
D
i
−
1
{\displaystyle h^{i}\colon C^{i}\to D^{i-1}}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
f
i
−
g
i
=
d
D
i
−
1
∘
h
i
+
h
i
+
1
∘
d
C
i
{\displaystyle f^{i}-g^{i}=\mathrm {d} _{D}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ \mathrm {d} _{C}^{i}}
사슬 호모토피의 추상적 정의 (왼쪽 호모토피)
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 사슬 복합체
C
{\displaystyle C}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 기둥 사슬 복합체 (영어 : cylinder chain complex )를 정의하자.
Cyl
(
C
)
∙
∈
Ch
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (C)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}
Cyl
(
C
)
n
=
C
n
⊕
C
n
⊕
C
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (C)_{n}=C_{n}\oplus C_{n}\oplus C_{n-1}}
∂
n
Cyl
(
C
)
:
C
n
⊕
C
n
⊕
C
n
−
1
→
C
n
−
1
⊕
C
n
−
1
⊕
C
n
−
2
{\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Cyl} (C)}\colon C_{n}\oplus C_{n}\oplus C_{n-1}\to C_{n-1}\oplus C_{n-1}\oplus C_{n-2}}
∂
n
Cyl
(
C
)
=
(
∂
n
C
0
1
0
∂
n
−
1
C
−
1
0
0
−
∂
n
−
2
C
)
{\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Cyl} (C)}={\begin{pmatrix}\partial _{n}^{C}&0&1\\0&\partial _{n-1}^{C}&-1\\0&0&-\partial _{n-2}^{C}\end{pmatrix}}}
(여기서 2×2 행렬은 2×1 열벡터 위에 작용하며, 열벡터의 첫 성분은
C
n
{\displaystyle C_{n}}
, 둘째 성분은
C
n
−
1
{\displaystyle C_{n-1}}
이다. 마찬가지로, 행렬을 곱하여 얻는 열벡터의 첫 성분은
C
n
−
1
{\displaystyle C_{n-1}}
, 둘째 성분은
C
n
−
2
{\displaystyle C_{n-2}}
이다.)
여기에는 자연스러운 포함 사상
ι
,
ι
′
:
C
→
Cyl
(
C
)
{\displaystyle \iota ,\iota '\colon C\to \operatorname {Cyl} (C)}
ι
=
(
1
0
0
)
{\displaystyle \iota ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}
ι
′
=
(
0
1
0
)
{\displaystyle \iota '={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}
이 주어진다.
임의의 두 사슬 복합체
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
사이의 두 사슬 사상
f
,
g
:
C
→
D
{\displaystyle f,g\colon C\to D}
사이의 사슬 호모토피 는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
h
:
Cyl
(
C
)
→
D
{\displaystyle h\colon \operatorname {Cyl} (C)\to D}
이다.
C
→
ι
Cyl
(
C
)
←
ι
′
C
‖
h
↓
h
‖
C
→
f
D
←
g
C
{\displaystyle {\begin{matrix}C&{\overset {\iota }{\to }}&\operatorname {Cyl} (C)&{\overset {\iota '}{\leftarrow }}&C\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\C&{\underset {f}{\to }}&D&{\underset {g}{\leftarrow }}&C\\\end{matrix}}}
(이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주 에서의 왼쪽 호모토피 의 정의를 풀어 쓴 것이다.)
사슬 호모토피의 추상적 정의 (오른쪽 호모토피)
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 사슬 복합체
D
{\displaystyle D}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 경로 사슬 복합체 (經路사슬複合體, 영어 : path chain complex )를 정의하자.
Path
n
(
D
)
=
D
n
⊕
D
n
⊕
D
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {Path} _{n}(D)=D_{n}\oplus D_{n}\oplus D_{n+1}}
∂
n
Path
(
D
)
=
(
∂
n
D
0
(
−
)
n
0
∂
n
D
(
−
)
n
+
1
0
0
∂
n
+
1
D
)
{\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Path} (D)}={\begin{pmatrix}\partial _{n}^{D}&0&(-)^{n}\\0&\partial _{n}^{D}&(-)^{n+1}\\0&0&\partial _{n+1}^{D}\end{pmatrix}}}
여기에는 자연스러운 사상
π
,
π
′
:
Path
(
D
)
→
D
{\displaystyle \pi ,\pi '\colon \operatorname {Path} (D)\to D}
π
=
(
1
0
0
)
{\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}
π
′
=
(
0
1
0
)
{\displaystyle \pi '={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}
이 존재한다.
임의의 두 사슬 복합체
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
사이의 두 사슬 사상
f
,
g
:
C
→
D
{\displaystyle f,g\colon C\to D}
사이의 사슬 호모토피 는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
h
:
C
→
Path
(
D
)
{\displaystyle h\colon C\to \operatorname {Path} (D)}
이다.
D
←
f
C
→
g
D
‖
h
↓
h
‖
D
←
π
Path
(
D
)
→
π
′
D
{\displaystyle {\begin{matrix}D&{\overset {f}{\leftarrow }}&C&{\overset {g}{\to }}&D\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\D&{\underset {\pi }{\leftarrow }}&\operatorname {Path} (D)&{\underset {\pi '}{\to }}&D\\\end{matrix}}}
(이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주 에서의 오른쪽 호모토피 의 정의를 풀어 쓴 것이다.)
구간 사슬 복합체를 통한 사슬 호모토피의 정의
편집
가군 범주에서, 위 정의는 다음과 같이 더 깔끔하게 표현될 수 있다.
A
=
A
Mod
A
=
A
⊗
K
A
Mod
{\displaystyle {\mathcal {A}}={}_{A}\operatorname {Mod} _{A}={}_{A\otimes _{K}A}\operatorname {Mod} }
가 어떤 가환환
K
{\displaystyle K}
위의 결합 대수
A
{\displaystyle A}
위의
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
-쌍가군 들의 아벨 범주 라고 하자. 이제, 다음과 같은 구간 사슬 복합체 (영어 : interval chain complex )
I
∙
{\displaystyle I_{\bullet }}
를 정의할 수 있다.
I
n
=
{
0
n
∉
{
0
,
1
}
A
n
=
1
A
⊕
A
n
=
0
{\displaystyle I_{n}={\begin{cases}0&n\not \in \{0,1\}\\A&n=1\\A\oplus A&n=0\end{cases}}}
∂
1
:
A
→
A
⊕
A
{\displaystyle \partial _{1}\colon A\to A\oplus A}
∂
1
=
(
1
−
1
)
{\displaystyle \partial _{1}={\binom {1}{-1}}}
또한, 자명한 사슬 복합체
1
n
=
{
0
n
≠
0
A
n
=
0
{\displaystyle 1_{n}={\begin{cases}0&n\neq 0\\A&n=0\end{cases}}}
을 정의하자. (이는 텐서곱의 항등원이다.) 그렇다면, 두 개의 자명한 사슬 사상
(
1
0
)
,
(
0
1
)
:
1
∙
→
I
∙
{\displaystyle {\binom {1}{0}},{\binom {0}{1}}\colon 1_{\bullet }\to I_{\bullet }}
이 존재한다. (기호
(
1
0
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {1}{0}}}
와
(
0
1
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {0}{1}}}
는 등급 0의 성분의 2×1행렬 표현이다.) 이제,
Cyl
∙
(
C
)
=
I
⊗
∙
C
{\displaystyle \operatorname {Cyl} _{\bullet }(C)=I\otimes _{\bullet }C}
Path
∙
(
D
)
=
hom
∙
(
I
,
D
)
{\displaystyle \operatorname {Path} _{\bullet }(D)=\hom _{\bullet }(I,D)}
임을 쉽게 확인할 수 있다.
그렇다면, 사슬 사상
f
,
g
:
C
→
C
{\displaystyle f,g\colon C\to C}
사이의 사슬 호모토피 는 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
h
:
I
⊗
C
→
D
{\displaystyle h\colon I\otimes C\to D}
이다.
1
⊗
C
→
(
1
0
)
I
⊗
C
←
(
0
1
)
1
⊗
C
‖
h
↓
h
‖
C
→
f
D
←
g
C
{\displaystyle {\begin{matrix}1\otimes C&{\overset {\binom {1}{0}}{\to }}&I\otimes C&{\overset {\binom {0}{1}}{\leftarrow }}&1\otimes C\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\C&{\underset {f}{\to }}&D&{\underset {g}{\leftarrow }}&C\\\end{matrix}}}
유도 범주의 일반적 정의
편집
아벨 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 있다고 하자. 그렇다면, 그 유도 범주
D
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})}
는 다음과 같은 범주이다.
D
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})}
의 대상들은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 사슬 복합체 들이다. 즉, 대상들은 사슬 복합체의 범주
Comp
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Comp} ({\mathcal {C}})}
와 같다.
D
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})}
의, 사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
,
D
∙
{\displaystyle D_{\bullet }}
사이의 사상은
C
∙
←
q
∙
E
∙
→
f
∙
D
∙
{\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q_{\bullet }}}E_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}D_{\bullet }}
와 같은 꼴의 두 사슬 사상들
q
∙
:
E
∙
→
C
∙
{\displaystyle q_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to C_{\bullet }}
,
f
∙
:
E
∙
→
D
∙
{\displaystyle f_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to D_{\bullet }}
의 순서쌍
(
q
∙
,
f
∙
)
=
f
∙
q
∙
−
1
{\displaystyle (q_{\bullet },f_{\bullet })=f_{\bullet }q_{\bullet }^{-1}}
의 동치류 이다. 여기서
q
∙
:
E
∙
→
C
∙
{\displaystyle q_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to C_{\bullet }}
은 유사동형 (영어 : quasi-isomorphism )이다. 즉,
q
∙
{\displaystyle q_{\bullet }}
로 유도되는, 호몰로지 사이의 사상
q
∙
∗
:
H
∙
(
E
)
→
H
∙
(
C
)
{\displaystyle q_{\bullet }^{*}\colon H_{\bullet }(E)\to H_{\bullet }(C)}
이 동형사상 이다.
f
∙
:
E
∙
→
D
∙
{\displaystyle f_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to D_{\bullet }}
는 임의의 사슬 사상이다.
서로 다른 두 순서쌍
f
∙
q
−
1
{\displaystyle f_{\bullet }q^{-1}}
,
f
∙
′
q
′
−
1
{\displaystyle f'_{\bullet }q'^{-1}}
가 서로 호모토픽 하다면 서로 동치라고 한다. 즉, 만약
C
∙
←
q
∙
E
∙
→
f
∙
D
∙
{\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q_{\bullet }}}E_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}D_{\bullet }}
와
C
∙
←
q
∙
′
E
∙
′
→
f
∙
′
D
∙
{\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q'_{\bullet }}}E'_{\bullet }{\xrightarrow {f'_{\bullet }}}D_{\bullet }}
가 다음을 만족시킨다면, 같은 동치류에 속한다.
E
∙
=
E
∙
′
{\displaystyle E_{\bullet }=E'_{\bullet }}
f
∙
{\displaystyle f_{\bullet }}
와
f
∙
′
{\displaystyle f'_{\bullet }}
는 서로 호모토픽하다.
q
∙
{\displaystyle q_{\bullet }}
와
q
∙
′
{\displaystyle q'_{\bullet }}
는 서로 호모토픽하다.
이 정의는 다음과 같은, 집합론 적인 문제를 야기한다.
만약
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
가 국소적으로 작은 범주 라면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 집합 을 이룬다면), 그 유도 범주는 국소적으로 작은 범주 가 되지 못할 수 있다.
만약
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
가 국소적으로 작은 범주 가 아닐 수 있다면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 모임 을 이룬다면), 그 유도 범주의 경우 두 대상 사이의 사상들이 심지어 모임 을 이루지 못할 수 있다.
유도 범주의 모형 범주 이론을 통한 정의
편집
일부 아벨 범주 의 경우, 모형 범주 의 이론을 통해 집합론적인 문제를 피할 수 있다. 구체적으로, 만약 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 사슬 복합체 범주
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
위에, 다음 조건을 만족시키는 모형 범주 구조가 존재한다면, 그 호모토피 범주 로서 유도 범주를 구성할 수 있다.
사영 모형 구조를 통한 정의
편집
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 음이 아닌 차수 유도 범주
D
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
는
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주 이다. 즉, 다음과 같다.
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
의 대상은 모든 성분이 사영 대상 인 사슬 복합체 이다.
두 사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
,
D
∙
{\displaystyle D_{\bullet }}
사이의
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
-사상은 그 사이의 사슬 사상 의 (사슬 호모토피에 대한) 호모토피류 이다.
이 경우, 다음과 같은 함자 를 정의할 수 있다.
F
:
Ch
∙
(
A
)
→
D
≥
0
(
A
)
{\displaystyle F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
이는 구체적으로 다음과 같다.
F
{\displaystyle F}
는 사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
를 이와 유사동형 이며, 사영 대상 만으로 구성된 사슬 복합체
C
^
∙
{\displaystyle {\hat {C}}_{\bullet }}
로 대응시킨다. 이 유사동형을
s
C
:
C
^
∙
→
C
∙
{\displaystyle s_{C}\colon {\hat {C}}_{\bullet }\to C_{\bullet }}
라고 하자.
F
{\displaystyle F}
는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상
f
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }}
를,
f
∘
s
C
=
s
D
∘
f
^
{\displaystyle f\circ s_{C}=s_{D}\circ {\hat {f}}}
인
f
^
:
C
^
∙
→
D
^
∙
{\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {C}}_{\bullet }\to {\hat {D}}_{\bullet }}
로 대응시킨다.
단사 모형 구조를 통한 정의
편집
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
약한 동치
공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치
각 성분이 전사 사상 이며, 각 성분의 핵 이 단사 대상 인 공사슬 사상
쌍대올뭉치
양의 차수에서 각 성분이 단사 사상 인 공사슬 사상
올대상
모든 성분이 단사 대상 인 공사슬 복합체
올대상 분해
단사 분해
쌍대올대상
모든 공사슬 복합체
쌍대올대상 분해
(원래 사슬 복합체와 같음)
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 유도 범주
D
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
는
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})}
의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주 이다. 즉, 다음과 같다.
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
의 대상은 모든 성분이 단사 대상 인 공사슬 복합체 이다.
두 공사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C^{\bullet }}
,
D
∙
{\displaystyle D^{\bullet }}
사이의
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
-사상은 그 사이의 사슬 사상 의 (공사슬 호모토피에 대한) 호모토피류 이다.
이 경우, 다음과 같은 함자 를 정의할 수 있다.
F
:
Ch
∙
(
A
)
→
D
≥
0
(
A
)
{\displaystyle F\colon \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
이는 구체적으로 다음과 같다.
F
{\displaystyle F}
는 공사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C^{\bullet }}
를 이와 유사동형 이며, 단사 대상 만으로 구성된 공사슬 복합체
C
^
∙
{\displaystyle {\hat {C}}^{\bullet }}
로 대응시킨다. 이 유사동형 을
r
C
:
C
∙
→
C
^
∙
{\displaystyle r_{C}\colon C^{\bullet }\to {\hat {C}}^{\bullet }}
라고 하자.
F
{\displaystyle F}
는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상
f
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }}
를,
r
D
∘
f
=
f
^
∘
r
C
{\displaystyle r_{D}\circ f={\hat {f}}\circ r_{C}}
인
f
^
:
C
^
∙
→
D
^
∙
{\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {C}}^{\bullet }\to {\hat {D}}^{\bullet }}
로 대응시킨다.
비(非)유계 차수 유도 범주
편집
위의 두 구성은 유도 범주
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
의 특별한 부분 범주
D
≤
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\leq 0}({\mathcal {A}})}
,
D
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
들을 정의한다. 만약 모든 정수 등급을 가질 수 있는 유도 범주
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
를 정의하려면, 다음과 같은 경우들이 알려져 있다.
만약 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
가 그로텐디크 아벨 범주 라면, 모든 사슬 복합체 의 범주
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
위에, 그 유도 범주를 호모토피 범주 로 갖는 모형 범주 구조가 존재한다.[3] :Proposition 3.13 이는 단사 모형 구조 (영어 : injective model structure )라고 한다.[4] :2441 그러나 이 모형 구조는 대체로 텐서곱 과 잘 호환되지 못한다. 예를 들어, 가환환 위의 가군 범주의 사슬 복합체 범주에 단사 모형 구조를 부여하면, 이는 모노이드 모형 범주를 이루지 못한다.
환
K
{\displaystyle K}
위의 왼쪽 가군 의 범주
R
Mod
{\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} }
위에는 다음과 같은 표준 모형 구조 (영어 : standard model structure )라는 모형 범주 구조가 존재한다.[5] :41, Definition 2.3.3
개념
사상
f
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }}
에 대한 정의
약한 동치
유사동형 :
f
∗
:
H
∙
(
C
)
→
H
∙
(
D
)
{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(C)\to \operatorname {H} _{\bullet }(D)}
는 사슬 복합체 의 동형
올뭉치
모든
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여,
f
n
{\displaystyle f_{n}}
이 전사 함수 [5] :41, Proposition 2.3.4
자명한 쌍대올뭉치
ker
∙
f
{\displaystyle \ker _{\bullet }f}
가 사영 대상 인 사슬 복합체 이며, 모든
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여
f
n
{\displaystyle f_{n}}
이 단사 함수 [5] :44, Proposition 2.3.10
또한, 만약
R
{\displaystyle R}
가 가환환 이라면 이는 텐서곱에 대하여 모노이드 모형 범주를 이룬다.[5] :111, Proposition 4.2.13
특별한 환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
위의 가군층 아벨 범주
Mod
O
X
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}
의 사슬 복합체 범주 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.[5] :1452–1453, Corollary 3.7
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
가 콤팩트 공간 인 분리 스킴 일 때, 그 위의 준연접층 의 아벨 범주
QCoh
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}
위의 사슬 복합체 범주
Ch
∙
(
QCoh
(
X
)
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {QCoh} (X))}
위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.[6]