가환환
K
{\displaystyle K}
위의 이차 리 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
K
{\displaystyle K}
-리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
{\displaystyle K}
-비퇴화 쌍선형 형식
g
⊗
K
g
→
K
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to K}
,
x
⊗
y
↦
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle }
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
⟨
[
x
,
y
]
|
z
⟩
=
⟨
y
|
[
z
,
x
]
⟩
{\displaystyle \langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle }
아인슈타인 표기법 을 사용하여,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 원소를
t
i
{\displaystyle t^{i}}
와 같이 윗첨자로 표기하고,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 구조 상수를
[
t
i
,
t
j
]
=
f
k
i
j
t
i
t
j
{\displaystyle [t^{i},t^{j}]=f^{k}{}_{ij}t^{i}t^{j}}
와 같이 적고 (
f
k
i
j
=
−
f
j
i
k
{\displaystyle f^{k}{}_{ij}=-f_{ji}^{k}}
), 쌍선형 형식을
⟨
t
i
|
t
j
⟩
=
C
i
j
t
i
t
j
{\displaystyle \langle t^{i}|t^{j}\rangle =C_{ij}t^{i}t^{j}}
와 같이 적을 경우 (
C
i
j
=
C
j
i
{\displaystyle C_{ij}=C_{ji}}
), 위 조건은 다음과 같다.
0
=
C
l
(
j
f
l
k
)
i
=
C
l
j
f
l
k
i
+
C
l
k
f
l
j
i
{\displaystyle 0=C_{l(j}f^{l}{}_{k)i}=C_{lj}f^{l}{}_{ki}+C_{lk}f^{l}{}_{ji}}
여기서
(
…
)
{\displaystyle (\dotso )}
는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합 은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.
이중 확대
편집
다음이 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
-이차 리 대수
(
g
,
⟨
−
|
−
⟩
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )}
K
{\displaystyle K}
-리 대수
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식
⟨
−
|
−
⟩
h
{\displaystyle \langle -|-\rangle _{\mathfrak {h}}}
(이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
K
{\displaystyle K}
-리 대수 준동형
(
⋅
)
:
h
→
d
e
r
(
g
)
∩
o
(
g
)
{\displaystyle (\cdot )\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\cap {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})}
(여기서
o
(
g
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})}
는 대칭 쌍선형 형식
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
에 대한 직교 리 대수 )
그렇다면, 직합
K
{\displaystyle K}
-벡터 공간
g
⊕
h
⊕
h
∨
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }}
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.
⟨
(
g
′
,
h
′
,
h
′
∨
)
|
(
g
,
h
,
h
∨
)
⟩
=
⟨
g
′
|
g
⟩
+
⟨
h
∨
|
h
′
⟩
+
⟨
h
′
∨
|
h
⟩
+
⟨
h
′
|
h
⟩
{\displaystyle \langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle }
[
(
g
,
0
,
0
)
,
(
g
′
,
0
,
0
)
]
=
(
[
g
,
g
′
]
,
0
,
ω
(
g
,
g
′
)
)
{\displaystyle [(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))}
[
(
0
,
h
,
0
)
,
(
0
,
h
′
,
0
)
]
=
(
0
,
[
h
,
h
′
]
,
0
)
{\displaystyle [(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)}
[
(
0
,
0
,
h
∨
)
,
(
g
,
0
,
h
′
∨
)
]
=
0
{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0}
[
(
0
,
h
,
0
)
,
(
0
,
g
,
0
)
]
=
(
h
⋅
g
,
0
,
0
)
{\displaystyle [(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)}
[
(
0
,
0
,
h
∨
)
,
(
0
,
h
,
0
)
]
=
(
0
,
0
,
h
∨
∘
ad
h
)
{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} _{h})}
여기서
ω
(
g
,
g
′
)
∈
h
∗
{\displaystyle \omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{*}}
ω
(
g
,
g
′
)
(
h
)
=
⟨
h
⋅
g
|
g
′
⟩
{\displaystyle \omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle }
이다. 이를
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의,
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
를 통한 이중 확대 (영어 : double extension )라고 한다.[1] :553–554, §0.2
만약
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
일 때,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 부호수가
(
m
+
,
m
−
)
{\displaystyle (m_{+},m_{-})}
이며,
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
가
n
{\displaystyle n}
차원이라면,
h
{\displaystyle h}
위의 대칭 쌍선형 형식 에 관계 없이,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
를 통한 이중 확대의 부호수는
(
m
+
+
n
,
m
−
+
n
)
{\displaystyle (m_{+}+n,m_{-}+n)}
이다.
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간 이다.
실수체 위의 리 대수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[2] :340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3
증명:
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수 들의 직합을 취할 수 밖에 없다.
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수 이거나, 1차원 아벨 리 대수 이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.[1] :Théorème Ⅱ
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1] :Théorème Ⅱ
마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수 인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1] :Théorème Ⅲ
직합
1차원 아벨 리 대수 에 대한 이중 확대
g
↦
g
⊕
R
⊕
R
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }
표수 0 의 체 위의 단순 리 대수 의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식 에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0 에서 모든 반단순 리 대수 는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
임의의 체
K
{\displaystyle K}
위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.
비콤팩트 이차 리 대수
편집
가환환
K
{\displaystyle K}
위의 이차 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환
g
[
t
]
{\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]}
위에 리 괄호
[
p
,
q
]
g
[
t
]
(
t
)
=
[
p
(
t
)
,
q
(
t
)
]
g
{\displaystyle [p,q]_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]_{\mathfrak {g}}}
를 줄 수 있다. 또한, 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여,
t
n
g
[
t
]
⊆
g
{\displaystyle t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}}
는 그 리 대수 아이디얼 을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수
g
[
t
]
t
n
g
[
t
]
=
⊕
i
=
0
n
−
1
g
t
i
{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus _{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}}
를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식 을 주자.
⟨
x
0
+
x
1
t
+
⋯
+
x
n
−
1
t
n
−
1
|
y
0
+
y
1
t
+
⋯
+
y
n
−
1
t
n
−
1
⟩
=
⟨
x
n
−
1
|
y
n
−
1
⟩
g
{\displaystyle \langle x_{0}+x_{1}t+\dotsb +x_{n-1}t^{n-1}|y_{0}+y_{1}t+\dotsb +y_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle _{\mathfrak {g}}}
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.
이제, 만약 예를 들어
K
{\displaystyle K}
가 표수 0 의 체 이며,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가 단순 리 대수 이며,
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수 와 아벨 리 대수 의 직합이 아니다.
아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수
편집
다음과 같은 리 대수를 생각하자.[3] :Proposition 2.2
g
4
=
Span
R
{
C
,
L
+
,
L
−
,
C
∗
}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{C,L_{+},L_{-},C^{*}\}}
[
C
,
L
±
]
=
±
L
±
{\displaystyle [C,L_{\pm }]=\pm L_{\pm }}
[
L
+
,
L
−
]
=
C
∗
{\displaystyle [L_{+},L_{-}]=C^{*}}
[
L
±
,
L
±
]
=
0
{\displaystyle [L_{\pm },L_{\pm }]=0}
[
C
,
C
∗
]
=
[
L
±
,
C
∗
]
=
0
{\displaystyle [C,C^{*}]=[L_{\pm },C^{*}]=0}
여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식
⟨
C
∗
|
C
⟩
=
1
{\displaystyle \langle C^{*}|C\rangle =1}
⟨
L
±
|
L
∓
⟩
=
1
{\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\mp }\rangle =1}
⟨
L
±
|
L
±
⟩
=
⟨
C
|
C
⟩
=
⟨
C
∗
|
C
∗
⟩
=
⟨
C
∗
|
L
±
⟩
=
⟨
C
|
L
±
⟩
=
0
{\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\pm }\rangle =\langle C|C\rangle =\langle C^{*}|C^{*}\rangle =\langle C^{*}|L_{\pm }\rangle =\langle C|L_{\pm }\rangle =0}
을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수 이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
또한, 다음을 생각하자.[3] :Proposition 2.3
g
5
=
Span
R
{
x
1
,
x
2
,
t
,
x
1
,
x
2
}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},x_{2},t,x^{1},x^{2}\}}
⟨
x
i
|
x
j
⟩
=
δ
i
j
{\displaystyle \langle x_{i}|x^{j}\rangle =\delta _{i}^{j}}
⟨
x
i
|
x
j
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x_{i}|x_{j}\rangle =0}
⟨
t
|
t
⟩
=
1
{\displaystyle \langle t|t\rangle =1}
[
x
1
,
x
2
]
=
t
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]=t}
[
x
i
,
t
]
=
−
ϵ
i
j
x
j
{\displaystyle [x_{i},t]=-\epsilon _{ij}x^{j}}
[
x
j
,
t
]
=
[
x
i
,
x
j
]
=
0
{\displaystyle [x^{j},t]=[x_{i},x^{j}]=0}
여기서
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{i}^{j}}
는 크로네커 델타 이며,
ϵ
i
j
{\displaystyle \epsilon _{ij}}
는 레비치비타 기호 이며, 아인슈타인 표기법 을 사용하였다.
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수 이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
낮은 차원의 이차 리 대수
편집
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.[3] [4]
실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.
가해 리 대수 가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수[4] :Theorem 4.11
차원
이차 리 대수
3
s
l
(
2
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}
o
(
3
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )}
6
s
l
(
2
;
R
)
→
d
e
r
(
0
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)}
에 의한 이중 확대
0
⊕
s
l
(
2
;
R
)
⊕
s
l
(
2
;
R
)
∗
{\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{*}}
o
(
3
;
R
)
→
d
e
r
(
0
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)}
에 의한 이중 확대
0
⊕
o
(
3
;
R
)
⊕
o
(
3
;
R
)
∗
{\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )^{*}}
s
l
(
2
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
8
s
l
(
3
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )}
s
u
(
3
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(3;\mathbb {R} )}
s
u
(
2
,
1
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,1;\mathbb {R} )}
9
s
l
(
2
;
R
[
x
]
/
(
x
3
)
)
=
s
l
(
2
;
R
)
⊗
R
R
[
x
]
/
(
x
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})}
o
(
3
;
R
[
x
]
/
(
x
3
)
)
=
o
(
3
;
R
)
⊗
R
R
[
x
]
/
(
x
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})}
10
o
(
3
,
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,2)}
o
(
4
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,1)}
o
(
5
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(5)}
V
=
R
2
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}
일 때, 이중 확대
V
⊗
V
⊕
s
l
(
V
)
⊕
s
l
(
V
)
∗
{\displaystyle V\otimes V\oplus {\mathfrak {sl}}(V)\oplus {\mathfrak {sl}}(V)^{*}}
.[4] :Example 3.11 여기서
⟨
u
⊗
v
,
u
′
⊗
v
′
⟩
=
⟨
u
,
v
⟩
⟨
u
′
,
v
′
⟩
{\displaystyle \langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle =\langle u,v\rangle \langle u',v'\rangle }
이며
M
⋅
(
u
⊗
v
)
=
M
u
⊗
v
{\displaystyle M\cdot (u\otimes v)=Mu\otimes v}
(
u
,
v
∈
V
,
M
∈
s
l
(
V
)
{\displaystyle u,v\in V,\;M\in {\mathfrak {sl}}(V)}
)
W
=
C
2
{\displaystyle W=\mathbb {C} ^{2}}
일 때, 이중 확대
V
⊕
s
u
(
W
)
⊕
s
u
(
W
)
∗
{\displaystyle V\oplus {\mathfrak {su}}(W)\oplus {\mathfrak {su}}(W)^{*}}
.[4] :Example 4.7 . 여기서
⟨
u
,
v
⟩
=
⟨
u
,
v
⟩
C
+
⟨
v
,
u
⟩
C
{\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle _{\mathbb {C} }+\langle v,u\rangle _{\mathbb {C} }}
이며
⟨
−
,
−
⟩
C
{\displaystyle \langle -,-\rangle _{\mathbb {C} }}
는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
11
(총 3개)
12
(총 9개)
13
(총 4개)
아벨 리 대수 가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수[3] :Proposition 2.2, 2.3, 3.8
차원
이차 리 대수
4
g
4
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4}}
(※위 문단 을 참고)
5
g
5
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}}
(※위 문단 을 참고)
6
(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)
참고 문헌
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외부 링크
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