서로 다른 차원들의 비교
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T1 공간
X
{\displaystyle X}
또는 정칙 공간
X
{\displaystyle X}
의 경우, 모든 점의 폐포 가 점의 열린 근방 에 다시 포함되므로,
ind
X
≤
Ind
X
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {Ind} X}
이다.[1] :9, Proposition 2.7
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여,
dim
X
≤
Ind
X
{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {Ind} X}
이다.[1] :18, Corollary 3.5 여기서
dim
{\displaystyle \dim }
은 르베그 덮개 차원 이다.
거리화 가능 공간
X
{\displaystyle X}
의 경우,
ind
X
≤
dim
X
=
Ind
X
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \dim X=\operatorname {Ind} X}
이다.[2] :219, Theorem 10
린델뢰프 공간
X
{\displaystyle X}
의 경우,
dim
X
≤
ind
X
{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X}
이다.[1] :27, Proposition 5.3
린델뢰프 완전 정규 공간
X
{\displaystyle X}
[1] :171 또는 완비 파라콤팩트(영어 : completely paracompact ) 완전 정규 공간
X
{\displaystyle X}
[3] :296, Theorem F2 의 경우,
dim
X
≤
ind
X
=
Ind
X
{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X}
이다.
우리손 정리 에 따르면, 제2 가산 정칙 공간
X
{\displaystyle X}
의 경우
ind
X
=
dim
X
=
Ind
X
{\displaystyle \operatorname {ind} X=\dim X=\operatorname {Ind} X}
이다.[4] :51, Theorem 1.7.7
부분 집합
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위상 공간
X
{\displaystyle X}
및 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 대하여,
ind
Y
≤
ind
X
{\displaystyle \operatorname {ind} Y\leq \operatorname {ind} X}
이다.[1] :8, Proposition 2.3 만약 추가로
Y
{\displaystyle Y}
가 닫힌집합 이거나,[1] :9, Proposition 2.6
X
{\displaystyle X}
가 완전 정규 공간 이라면,[1] :21, Corollary 3.13
Ind
Y
≤
Ind
X
{\displaystyle \operatorname {Ind} Y\leq \operatorname {Ind} X}
이다.
완비 정규 공간
X
{\displaystyle X}
및 부분 집합
Y
,
Z
⊆
X
{\displaystyle Y,Z\subseteq X}
에 대하여, 만약
X
=
Y
∪
Z
{\displaystyle X=Y\cup Z}
라면,
ind
X
≤
ind
Y
+
ind
Z
+
1
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {ind} Y+\operatorname {ind} Z+1}
Ind
X
≤
Ind
Y
+
Ind
Z
+
1
{\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z+1}
이다.[5] :2203, 2206 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식 이라고 한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및 닫힌집합
Y
,
Z
⊆
X
{\displaystyle Y,Z\subseteq X}
에 대하여, 만약
X
=
Y
∪
Z
{\displaystyle X=Y\cup Z}
라면,
ind
X
≤
max
{
ind
Y
,
ind
Z
}
+
1
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \max\{\operatorname {ind} Y,\operatorname {ind} Z\}+1}
이다.[5] :2203, (1) 만약 추가로
X
{\displaystyle X}
가 정규 공간 이라면,
Ind
X
≤
Ind
Y
+
Ind
Z
{\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z}
이다.[5] :2206
제2 가산 정칙 공간
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원 과 일치하므로
ind
(
X
×
Y
)
≤
ind
(
X
)
+
ind
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} (X)+\operatorname {ind} (Y)}
Ind
(
X
×
Y
)
≤
Ind
(
X
)
+
Ind
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} (X)+\operatorname {Ind} (Y)}
이다.
위상 공간
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
임의의 닫힌집합
A
,
B
⊆
X
{\displaystyle A,B\subseteq X}
에 대하여,
ind
(
A
∪
B
)
≤
max
{
ind
A
,
ind
B
}
{\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}}
임의의 닫힌집합
A
,
B
⊆
Y
{\displaystyle A,B\subseteq Y}
에 대하여,
ind
(
A
∪
B
)
≤
max
{
ind
A
,
ind
B
}
{\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}}
그렇다면,
ind
(
X
×
Y
)
≤
ind
X
+
ind
Y
{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} X+\operatorname {ind} Y}
이다.[5] :2203, (2) 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간 이 존재하며,[1] :Chapter 20 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간 이 존재한다.[1] :Chapter 14
위상 공간
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
에 대하여, 만약
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이라면,
ind
(
X
×
Y
)
=
ind
Y
{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)=\operatorname {ind} Y}
이다.[1] :12, Exercise 2.27
콤팩트 하우스도르프 공간
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
에 대하여, 만약
Ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ind} X=0}
이라면,
Ind
(
X
×
Y
)
≤
Ind
Y
{\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} Y}
이다.
위상 공간 들의 집합
{
X
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}
및 곱공간
X
=
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}
에 대하여, 만약 모든
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
에 대하여
ind
X
i
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X_{i}=0}
이라면,
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이다.[1] :12, Exercise 2.28
스톤-체흐 콤팩트화
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정규 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
및 그 스톤-체흐 콤팩트화
β
X
{\displaystyle \beta X}
에 대하여,
Ind
X
=
Ind
β
X
{\displaystyle \operatorname {Ind} X=\operatorname {Ind} \beta X}
이다.[4] :137, Theorem 2.2.10
경계 가 공집합 일 필요충분조건 은 열린닫힌집합 인 것이다. 따라서, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
X
{\displaystyle X}
는 열린닫힌집합 들로 구성된 기저 를 갖는다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1] :10, Proposition 2.9
dim
X
=
0
{\displaystyle \dim X=0}
Ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ind} X=0}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
만약
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이라면,
X
{\displaystyle X}
는 완비 정칙 공간 이다.
만약
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이며,
X
{\displaystyle X}
가 콜모고로프 공간 이라면,
X
{\displaystyle X}
는 완전 분리 공간 이자 티호노프 공간 이다.
반대로, 만약
X
{\displaystyle X}
가 완전 분리 공간 이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 이라면,
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이다.[6] :362, Theorem 6.2.9
만약
dim
X
=
0
{\displaystyle \dim X=0}
이라면,
X
{\displaystyle X}
는 정규 공간 이다.
만약
dim
X
=
0
{\displaystyle \dim X=0}
이며,
X
{\displaystyle X}
가 T1 공간 이거나 정칙 공간 이라면,
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이다.
반대로, 만약
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이며,
X
{\displaystyle X}
가 린델뢰프 공간
X
{\displaystyle X}
이라면,
dim
X
=
0
{\displaystyle \dim X=0}
이다.
국소 콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[6] :362, Theorem 6.2.9
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
완전 분리 공간 이다.
국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
이 주어졌을 때,
X
{\displaystyle X}
는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합 들의 합집합이다. 따라서,
X
{\displaystyle X}
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이다.[6] :362, Theorem 6.2.10
완전 분리 공간 이다.
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
dim
X
=
0
{\displaystyle \dim X=0}
작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간 (零次元空間, 영어 : zero-dimensional space )이라고 한다. 르베그 덮개 차원 이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간 (强-零次元空間, 영어 : strongly zero-dimensional space )이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건 을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건 을 추가한다.
T1 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[6] :363, Theorem 6.2.16 [7] :323, §f-6
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
두 점 이산 공간 의 곱공간
{
0
,
1
}
Clopen
(
X
)
{\displaystyle \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}}
의 부분 집합 과 위상 동형 이다. (여기서
Clopen
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Clopen} (X)}
는 열린닫힌집합 들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장 은 다음과 같이 잡을 수 있다.
μ
:
X
→
{
0
,
1
}
Clopen
(
X
)
{\displaystyle \mu \colon X\to \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}}
μ
(
x
)
U
=
{
1
x
∈
U
0
x
∉
U
{\displaystyle \mu (x)_{U}={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}
모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 은 실수 들의 집합과 위상 동형 이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 (=분해 가능 거리화 가능 공간 )
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.[4] :20, Theorem 1.3.15
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
X
{\displaystyle X}
는 칸토어 집합
C
≅
{
0
,
1
}
ℵ
0
{\displaystyle C\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}}
의 부분 집합 과 위상 동형 이다.
X
{\displaystyle X}
는 무리수 집합
R
∖
Q
≅
N
ℵ
0
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \cong \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}}
의 부분 집합 과 위상 동형 이다.
실수 들의 집합
X
⊆
R
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
(둘 이상의 점을 갖는) 구간 을 포함하지 않는다.
뇌벨링-폰트랴긴 정리 에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
ind
X
<
∞
{\displaystyle \operatorname {ind} X<\infty }
X
{\displaystyle X}
는 유클리드 공간 의 부분 집합 과 위상 동형 이다.
사실, 모든
n
{\displaystyle n}
차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 은
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle (2n+1)}
차원 유클리드 공간
R
2
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}
에 매장 할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[4] :95, Theorem 1.11.5
ind
X
≤
n
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq n}
X
{\displaystyle X}
는
{
x
∈
R
2
n
+
1
:
|
{
i
:
x
i
∈
Q
}
|
≤
n
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{2n+1}\colon |\{i\colon x_{i}\in \mathbb {Q} \}|\leq n\}}
의 부분 집합 과 위상 동형 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 조건들이 동치 이다.
ind
X
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {ind} X=-1}
dim
X
=
−
1
{\displaystyle \dim X=-1}
Ind
X
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {Ind} X=-1}
X
=
∅
{\displaystyle X=\varnothing }
유클리드 공간 , 단체 , 초구 의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.
ind
R
n
=
dim
R
n
=
Ind
R
n
=
n
{\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {R} ^{n}=\dim \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {R} ^{n}=n}
ind
Δ
n
=
dim
Δ
n
=
Ind
Δ
n
=
n
{\displaystyle \operatorname {ind} \Delta _{n}=\dim \Delta _{n}=\operatorname {Ind} \Delta _{n}=n}
ind
S
n
=
dim
S
n
=
Ind
S
n
=
n
{\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {S} ^{n}=\dim \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {S} ^{n}=n}
보다 일반적으로, 임의의
n
{\displaystyle n}
차원 다양체 의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원 은
n
{\displaystyle n}
이다.
[
0
,
1
]
ℵ
0
{\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}
의 작은·큰 귀납적 차원은
∞
{\displaystyle \infty }
이다.
ind
[
0
,
1
]
ℵ
0
=
dim
[
0
,
1
]
ℵ
0
=
Ind
[
0
,
1
]
ℵ
0
=
∞
{\displaystyle \operatorname {ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\dim[0,1]^{\aleph _{0}}=\operatorname {Ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\infty }
조르겐프라이 직선
S
{\displaystyle S}
및 조르겐프라이 평면
S
×
S
{\displaystyle S\times S}
의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.[8] :2 조르겐프라이 직선 의 르베그 덮개 차원 은 0이지만, 조르겐프라이 평면 의 르베그 덮개 차원 은 무한하다.[8] :2, Theorem 1
ind
S
=
dim
S
=
Ind
S
=
ind
S
×
S
=
Ind
S
×
S
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim S=\operatorname {Ind} S=\operatorname {ind} S\times S=\operatorname {Ind} S\times S=0}
dim
S
×
S
=
∞
{\displaystyle \dim S\times S=\infty }
이산 공간 과 모든 비이산 공간 의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원 은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간 의 르베그 덮개 차원 과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간 이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.
거리화 가능 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 만약
|
X
|
<
2
ℵ
0
{\displaystyle |X|<2^{\aleph _{0}}}
라면,
ind
X
=
0
{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}
이다.
임의의 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
및 열린 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
가 주어졌다고 하자.
ball
(
x
,
r
)
⊆
U
{\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)\subseteq U}
인
r
>
0
{\displaystyle r>0}
을 잡자.
|
X
|
<
2
ℵ
0
{\displaystyle |X|<2^{\aleph _{0}}}
이므로,
d
(
x
,
y
)
≠
s
∀
y
∈
X
{\displaystyle d(x,y)\neq s\forall y\in X}
인
0
<
s
<
r
{\displaystyle 0<s<r}
이 존재한다. 따라서,
∂
ball
(
x
,
s
)
=
{
y
∈
X
:
d
(
x
,
y
)
=
s
}
=
∅
{\displaystyle \partial \operatorname {ball} (x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing }
이다.
순서 위상 을 가한 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.[1] :12, Exercise 2.24
ind
X
≤
1
{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq 1}