기하학에서 중점연결정리(中點連結定理)는 삼각형 또는 사다리꼴에 관한 정리이다.
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 이다.
△ {\displaystyle \triangle } ABC와 △ {\displaystyle \triangle } ADE에서
∴ △ {\displaystyle \triangle } ABC ∼ △ {\displaystyle \sim \triangle } ADE (SAS 닮음)
∴∠ADE=∠ABC
즉, DE//BC
또, A D ¯ A B ¯ = D E ¯ B C ¯ = 1 2 {\displaystyle \mathrm {{\frac {\overline {AD}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {BC}}}={\frac {1}{2}}} } 이므로
∴ D E ¯ = 1 2 B C ¯ {\displaystyle \mathrm {\therefore {\overline {DE}}={\frac {1}{2}}{\overline {BC}}} }
A D ¯ ∥ B C ¯ , A M ¯ = M B ¯ , D N ¯ = N C ¯ {\displaystyle \mathrm {{\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}},\ {\overline {AM}}={\overline {MB}},\ {\overline {DN}}={\overline {NC}}} } 일 때 M N ¯ = 1 2 ( A D ¯ + B C ¯ ) {\displaystyle \mathrm {{\overline {MN}}={\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} }
AN과 BC의 연장선의 교점을 E라 할 때
△ {\displaystyle \triangle } ADN와 △ {\displaystyle \triangle } ECN에서
∴ △ {\displaystyle \triangle } ADN ≡ △ {\displaystyle \triangle } ECN (ASA 합동)
∴ AN=NE, AD=CE
그러므로 △ {\displaystyle \triangle } ABE에서 중점연결정리에 의하여
M N ¯ = 1 2 B E ¯ = 1 2 ( B C ¯ + C E ¯ ) = 1 2 ( A D ¯ + B C ¯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\overline {MN}} &=\mathrm {{\frac {1}{2}}{\overline {BE}}} \\&=\mathrm {{\frac {1}{2}}({\overline {BC}}+{\overline {CE}})} \\&=\mathrm {{\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} \\\end{aligned}}}
∴ M N ¯ = 1 2 ( A D ¯ + B C ¯ ) {\displaystyle \mathrm {\therefore {\overline {MN}}={\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} }