초켈러 다양체

미분기하학에서 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 접다발의 대수

$\operatorname {End} (\mathrm {T} M)=\Omega ^{1}(M;\mathrm {T} M)$

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

${\mathcal {J}}\colon \mathbb {H} \to \operatorname {End} (\mathrm {T} M)$

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 $q\in \mathbb {H}$, ${\bar {q}}=-q=q^{-1}$에 대하여 ${\mathcal {J}}(q)$가 항상 복소구조라면, $(M,{\mathcal {J}})$를 초복소다양체(영어: hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조

${\mathcal {J}}(\mathrm {i} )=I$

${\mathcal {J}}(\mathrm {j} )=J$

${\mathcal {J}}(\mathrm {k} )=K$

가 주어졌을 때,

$I^{2}=J^{2}=K^{2}=-1$

$IJ=-JI=K$

$JK=-KJ=I$

$KI=-IK=J$

이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 $\mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}$이 존재한다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 초복소구조 ${\mathcal {J}}$ 가운데, 만약 $q\in \operatorname {Im} \mathbb {H}$, $\|q\|=1$, ${\bar {q}}=-q$에 대하여 ${\mathcal {J}}(q)$가 항상 켈러 구조라면, ${\mathcal {J}}$를 초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 $\mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}$이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체 $(M,g_{\mu \nu })$ 위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.^:§2.1

• 세 개의 (1,1)차 텐서장 $J_{\nu }^{\mu i}$ ($i=1,2,3$은 ${\mathfrak {su}}(2)$ 좌표)

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

• $J_{\nu }^{\mu i}J_{\rho }^{\nu j}=-\delta ^{ij}\delta _{\rho }^{\mu }-\epsilon ^{ij}{}_{k}J_{\rho }^{\mu k}$ (사원수 대수 및 개복소구조)
• $g_{\mu \nu }J_{\mu '}^{\mu i}=-g_{\mu '\nu '}J_{\nu }^{\nu 'i}$ (에르미트성)
• $\nabla _{\mu }J_{\rho }^{\nu i}=0$ (복소구조의 적분가능성)

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

$\omega _{\mu \nu }^{i}=J_{\mu }^{\mu 'i}g_{\mu '\nu }$

를 정의할 수 있다.

성질

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

위상수학적 성질

다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.

$4n$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 $b_{k}$ 및 오일러 지표 $\chi (M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\sum _{k=0}^{4n}(-1)^{k}(6k^{2}-2n(12n+1))b_{i}=0$

$b_{2k}\geq {\binom {k+2}{2}}\qquad (k\leq n)$

$4\mid b_{2k+1}\forall k$

$12\mid n\chi (M)$

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.

호지 이론적 성질

$4n$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 $h^{p,q}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad \forall 0\leq p,q\leq 2n$

$h^{p,q}\geq h^{p+1,q-1}\forall p\geq q$

리만 기하학적 성질

$4n$차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 $\operatorname {USp} (4n)$의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 $\operatorname {SU} (n)$의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 $\operatorname {USp} (4n)\times \operatorname {USp} (4)$인 경우다. $\operatorname {USp} (4n)\subset \operatorname {SU} (4n)$이다.)

복소기하학적 성질

초켈러 다양체 $(M,\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})$의 임의의 한 심플렉틱 형식 $\omega _{1}$을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식

$\omega _{\mathbb {C} }=\omega _{2}+\mathrm {i} \omega _{3}\in \Omega ^{2,0}(M)$

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체 $(M,\omega _{1})$ 위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식(영어: holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

$\omega _{1}=\omega _{\mathbb {R} }\in \Omega ^{1,1}(M)$

$\omega _{\mathbb {C} }\in \Omega ^{2,0}(M)$

이 존재한다.

반대로, 칼라비-야우 정리(영어: Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

응용

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 ${\mathcal {N}}=2$)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 ${\mathcal {N}}=(4,4)$ 초등각 장론을 이룬다.

역사

에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다. 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.

“

우리는 홀로노미 군이 콤팩트 군 $\operatorname {Sp} (n)$ ($n=1,2,\dotsc$)인 켈러 계량을 발견한다. 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다. 그러나 우리는 ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다. nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact $\operatorname {Sp} (n)$ ($n=1,2,\dotsc$) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]

”

참고 문헌

• Kronheimer, P. B. (1989). “The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 29 (3): 665–683. ISSN 0022-040X. MR 992334. Zbl 0671.53045. 
• Beauville, Arnaud. “Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry” (영어). arXiv:math/9902110. Bibcode:1999math......2110B. 
• Huybrechts, Daniel (2011). 〈Hyperkähler manifolds and sheaves〉 (PDF). Rajendra Bhatia. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, August 19–27, 2010. Volume II: Invited Lectures》 (영어). World Scientific. 450–460쪽. doi:10.1142/9789814324359_0059. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1226.14027. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyper-Kähler manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hyperkähler manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Injective homomorphism induced by cup product in cohomology” (영어). Math Overflow. 
• “Is the cotangent bundle to a Kahler manifold hyperkahler?” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• K3 곡면
• 사원수 켈러 다양체
• 홀로노미
• 사원수
• 초대칭 게이지 이론