수학 에서 코쥘 쌍대성 (Koszul雙對性, 영어 : Koszul duality )은 결합 대수 와 결합 대수 사이의, 또는 보다 일반적으로 오퍼라드 와 오퍼라드 사이의 쌍대성 이론이다.[1]
대략, 이차 오퍼라드 (二次operad, 영어 : quadratic operad )
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)}
이항 연산 만을 가지며, 3항 이하 대수적 공리만을 갖는 오퍼라드이다. 이 경우,
E
{\displaystyle E}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
환 이며, 예를 들어 체 또는 사원수환 등을 사용할 수 있다.각 이차 오퍼라드에 대하여 코쥘 쌍대 오퍼라드 (Koszul雙對operad, 영어 : Koszul-dual operad )를 정의할 수 있으며, 이 역시 이차 오퍼라드이다.
각 오퍼라드에 대하여, 이차 대수 (二次代數, 영어 : quadratic algebra )와 이차 초대수 (二次超代數, 영어 : quadratic superalgebra )를 정의할 수 있다. 이들은 대략 정수 등급을 갖는 생성원들로 생성되며, 그 속에서 성립하는 모든 관계가 2항 관계인 대수들이다. (이차 대수와 이차 초대수의 차이는, 이차 초대수의 경우 홀수 차수와 홀수 차수 사이에 코쥘 부호 규칙을 적용하지만, 이차 대수의 경우 이러한 추가 마이너스 부호를 붙이지 않는다는 것이다.) 이 경우, 이차 오퍼라드의 이차 대수의 개념은 그 코쥘 쌍대 오퍼라드의 이차 초대수의 개념과 동치 이다.
등급 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주
편집
체
K
{\displaystyle K}
정수 등급 벡터 공간 의 범주
grVect
K
{\displaystyle \operatorname {grVect} _{K}}
(
V
⊗
W
)
n
=
⨁
i
+
j
=
n
V
i
⊗
W
i
{\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{i+j=n}V_{i}\otimes W_{i}}
를 부여하면, 이는 모노이드 범주 를 이룬다. 그 위에, 다음과 같은 서로 다른 두 대칭 모노이드 범주 구조를 줄 수 있다.
ι
+
:
V
⊗
W
→
W
⊗
V
{\displaystyle \iota ^{+}\colon V\otimes W\to W\otimes V}
ι
+
:
v
⊗
w
↦
w
⊗
v
{\displaystyle \iota ^{+}\colon v\otimes w\mapsto w\otimes v}
ι
−
:
V
⊗
W
→
W
⊗
V
{\displaystyle \iota ^{-}\colon V\otimes W\to W\otimes V}
ι
−
:
v
⊗
w
↦
(
−
)
deg
v
deg
w
w
⊗
v
{\displaystyle \iota ^{-}\colon v\otimes w\mapsto (-)^{\deg v\deg w}w\otimes v}
이 두 대칭 모노이드 범주 를 각각
grVect
K
±
{\displaystyle \operatorname {grVect} _{K}^{\pm }}
[1] :(1.3.18)
이차 오퍼라드
편집
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
반단순
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
아르틴 환 이며,
A
{\displaystyle A}
제이컵슨 근기 는 0이다.
(
A
,
A
⊗
K
2
)
{\displaystyle (A,A^{\otimes _{K}2})}
쌍가군 (즉,
A
⊗
K
A
op
⊗
K
A
op
{\displaystyle A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}
왼쪽 가군 )
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
대합
σ
:
E
→
E
{\displaystyle \sigma \colon E\to E}
σ
(
a
⋅
e
⋅
b
⊗
K
c
)
=
a
⋅
σ
(
e
)
⋅
b
⊗
K
c
(
a
,
b
,
c
∈
A
,
e
∈
E
)
{\displaystyle \sigma (a\cdot e\cdot b\otimes _{K}c)=a\cdot \sigma (e)\cdot b\otimes _{K}c\qquad (a,b,c\in A,\;e\in E)}
그렇다면, 공간
E
⊗
A
E
{\displaystyle E\otimes _{A}E}
를 정의하자. 여기서,
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle A}
e
⋅
a
=
e
⋅
(
a
⊗
K
1
)
{\displaystyle e\cdot a=e\cdot (a\otimes _{K}1)}
이다.
E
⊗
A
E
{\displaystyle E\otimes _{A}E}
(
A
,
A
⊗
K
3
)
{\displaystyle (A,A^{\otimes _{K}3})}
쌍가군 구조
Sym
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}
작용
e
⊗
A
e
′
↦
e
⊗
A
σ
(
e
′
)
{\displaystyle e\otimes _{A}e'\mapsto e\otimes _{A}\sigma (e')}
이에 따라, 유도 가군
Ind
Sym
(
2
)
Sym
(
3
)
(
E
⊗
A
E
)
{\displaystyle \operatorname {Ind} _{\operatorname {Sym} (2)}^{\operatorname {Sym} (3)}(E\otimes _{A}E)}
을 정의할 수 있다.
그렇다면,
E
(
2
)
=
E
{\displaystyle E(2)=E}
E
(
n
)
=
0
∀
n
≥
3
{\displaystyle E(n)=0\qquad \forall n\geq 3}
로 생성되는 (즉, 이항 연산 만으로 생성되는) 자유 오퍼라드
Free
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Free} (E)}
Free
(
E
)
(
3
)
=
Ind
Sym
(
2
)
Sym
(
3
)
(
E
⊗
A
E
)
{\displaystyle \operatorname {Free} (E)(3)=\operatorname {Ind} _{\operatorname {Sym} (2)}^{\operatorname {Sym} (3)}(E\otimes _{A}E)}
이다. 이제, 자유 오퍼라드
Free
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Free} (E)}
R
⊆
Free
(
E
)
(
3
)
{\displaystyle R\subseteq \operatorname {Free} (E)(3)}
에 대한 몫 오퍼라드를 이차 오퍼라드
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)}
쌍대 오퍼라드
편집
오퍼라드
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)}
A
{\displaystyle A}
쌍대 가군
E
∨
=
hom
A
(
E
,
A
)
{\displaystyle E^{\vee }=\hom _{A}(E,A)}
을 생각하자. 그렇다면,
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)}
쌍대 오퍼라드 는 다음과 같다.
P
(
A
,
E
,
R
)
!
=
P
(
A
op
,
E
∨
,
R
⊥
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)^{!}={\mathcal {P}}(A^{\operatorname {op} },E^{\vee },R^{\perp })}
여기서
R
⊥
=
{
ϕ
∈
E
∨
:
ϕ
(
r
)
=
0
∀
r
∈
R
}
{\displaystyle R^{\perp }=\{\phi \in E^{\vee }\colon \phi (r)=0\qquad \forall r\in R\}}
는
R
{\displaystyle R}
직교 여공간 이다.
이차 대수와 이차 초대수
편집
이차 오퍼라드
P
=
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(A,E,R)}
이제,
V
{\displaystyle V}
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
쌍가군 (즉,
A
⊗
K
A
op
)
{\displaystyle A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} })}
가군 )이라고 하자. 또한, 임의의
S
⊆
(
E
⊗
A
⊗
K
2
V
⊗
K
2
)
Sym
(
2
)
{\displaystyle S\subseteq (E\otimes _{A^{\otimes _{K}2}}V^{\otimes _{K}2})_{\operatorname {Sym} (2)}}
가 부분
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
그렇다면,
V
{\displaystyle V}
대칭 모노이드 범주
grVect
K
±
{\displaystyle \operatorname {grVect} _{K}^{\pm }}
자유 대수
Free
P
grVect
K
±
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {Free} _{\mathcal {P}}^{\operatorname {grVect} _{K}^{\pm }}(V)}
의,
S
{\displaystyle S}
아이디얼 )에 대한 몫
Free
P
(
V
)
(
S
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {Free} _{\mathcal {P}}(V)}{(S)}}}
과 같은 꼴의
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
만약
grVect
K
+
{\displaystyle \operatorname {grVect} _{K}^{+}}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
grVect
K
−
{\displaystyle \operatorname {grVect} _{K}^{-}}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
코쥘 오퍼라드
편집
이차 오퍼라드
P
=
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(A,E,R)}
B
{\displaystyle B}
호몰로지 이론 을 정의할 수 있다.[1] :Definition (4.2.3)
A
=
Ass
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Ass} }
호흐실트 호몰로지 와 같다.[1] :Example (4.2.4a)
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
코쥘 오퍼라드 (영어 : Koszul operad )라고 한다.[1] :Theorem 4.2.5
코쥘 오퍼라드
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
호모토피
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
(영어 : homotopy
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
)의 개념을 정의할 수 있다.[1] :Definition 4.2.13
이차 오퍼라드의 구조
편집
이차 오퍼라드
P
(
A
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)}
[1] :(2.1.7)
P
(
A
,
E
,
R
)
(
1
)
=
A
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)(1)=A}
P
(
A
,
E
,
R
)
(
2
)
=
E
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A,E,R)(2)=E}
또한, 3차 성분에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열 이 존재한다.
0
→
R
→
Free
(
E
)
(
3
)
→
P
(
A
,
E
,
R
)
(
3
)
→
0
{\displaystyle 0\to R\to \operatorname {Free} (E)(3)\to {\mathcal {P}}(A,E,R)(3)\to 0}
코쥘 쌍대성
편집
코쥘 쌍대성 에 따르면, 이차 오퍼라드
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
일대일 대응 이 존재한다.
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
P
!
{\displaystyle {\mathcal {P}}^{!}}
P
!
{\displaystyle {\mathcal {P}}^{!}}
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
호모토피 코쥘 쌍대성
편집
호모토피 대수에 대하여 다음과 같은 코쥘 쌍대성 이 성립한다. 임의의 등급
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
V
=
⨁
n
V
n
{\displaystyle V=\bigoplus _{n}V_{n}}
dim
K
V
n
<
∞
∀
n
{\displaystyle \dim _{K}V_{n}<\infty \qquad \forall n}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이의 표준적인 일대일 대응 이 존재한다.
V
∙
{\displaystyle V_{\bullet }}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
V
{\displaystyle V}
쌍대 공간
V
∗
=
⨁
n
V
n
∗
{\displaystyle \textstyle V^{*}=\bigoplus _{n}V_{n}^{*}}
영어 : suspension ) 위의
P
!
{\displaystyle {\mathcal {P}}^{!}}
자유 대수
Free
P
!
(
A
∗
[
1
]
)
{\displaystyle \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}
d
:
Free
P
!
(
A
∗
[
1
]
)
→
Free
P
!
(
A
∗
[
1
]
)
{\displaystyle \mathrm {d} \colon \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])\to \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}
(멱영성)
d
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}
(곱 규칙 )
d
μ
(
a
,
b
)
=
μ
(
d
a
,
b
)
+
(
−
)
deg
a
μ
(
a
,
d
b
)
∀
μ
∈
P
(
2
)
,
a
,
b
∈
Free
P
!
(
A
∗
[
1
]
)
{\displaystyle \mathrm {d} \mu (a,b)=\mu (\mathrm {d} a,b)+(-)^{\deg a}\mu (a,\mathrm {d} b)\qquad \forall \mu \in {\mathcal {P}}(2),\;a,b\in \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}
만약
A
=
K
{\displaystyle A=K}
P
(
K
,
E
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(K,E,R)}
E
{\displaystyle E}
이항 연산 들을 가지며,
R
{\displaystyle R}
대수 구조 들의 오퍼라드이다. 특히, 결합 대수 의 오퍼라드
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
가환 결합 대수 의 오퍼라드
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
리 대수 의 오퍼라드
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
오퍼라드
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
E
{\displaystyle E}
Span
K
{
x
1
x
2
,
x
2
x
1
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{x_{1}x_{2},x_{2}x_{1}\}}
Span
K
{
x
1
x
2
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{x_{1}x_{2}\}}
Span
K
{
[
x
1
,
x
2
]
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x_{1},x_{2}]\}}
dim
K
E
{\displaystyle \dim _{K}E}
2
1
1
σ
{\displaystyle \sigma }
x
1
x
2
↦
x
2
x
1
{\displaystyle x_{1}x_{2}\mapsto x_{2}x_{1}}
id
{\displaystyle \operatorname {id} }
−
1
{\displaystyle -1}
Free
(
E
)
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Free} (E)(3)}
⨁
σ
∈
Sym
(
3
)
Span
K
{
(
x
σ
(
1
)
x
σ
(
2
)
)
x
σ
(
3
)
,
(
x
σ
(
1
)
(
x
σ
(
2
)
x
σ
(
3
)
)
}
{\displaystyle \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Sym} (3)}\operatorname {Span} _{K}\{(x_{\sigma (1)}x_{\sigma (2)})x_{\sigma (3)},(x_{\sigma (1)}(x_{\sigma (2)}x_{\sigma (3)})\}}
Span
K
{
x
(
y
z
)
,
y
(
z
x
)
,
z
(
x
y
)
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{x(yz),y(zx),z(xy)\}}
Span
K
{
[
x
,
[
y
,
z
]
]
,
[
y
,
[
z
,
x
]
]
,
[
z
,
[
x
,
y
]
]
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x,[y,z]],[y,[z,x]],[z,[x,y]]\}}
dim
K
Free
(
E
)
(
3
)
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {Free} (E)(3)}
12
3
3
R
{\displaystyle R}
⨁
σ
∈
Sym
(
3
)
Span
K
{
(
x
σ
(
1
)
x
σ
(
2
)
)
x
σ
(
3
)
−
x
σ
(
1
)
(
x
σ
(
2
)
x
σ
(
3
)
)
}
{\displaystyle \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Sym} (3)}\operatorname {Span} _{K}\{(x_{\sigma (1)}x_{\sigma (2)})x_{\sigma (3)}-x_{\sigma (1)}(x_{\sigma (2)}x_{\sigma (3)})\}}
Span
K
{
x
(
y
z
)
−
y
(
x
z
)
,
x
(
y
z
)
−
z
(
x
y
)
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{x(yz)-y(xz),x(yz)-z(xy)\}}
Span
K
{
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
[
z
,
[
x
,
y
]
]
}
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]\}}
dim
K
R
{\displaystyle \dim _{K}R}
6
2
1
이들의 코쥘 쌍대 오퍼라드는 각각 다음과 같다.
Com
!
=
Lie
{\displaystyle \operatorname {Com} ^{!}=\operatorname {Lie} }
Lie
!
=
Com
{\displaystyle \operatorname {Lie} ^{!}=\operatorname {Com} }
Ass
!
=
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} ^{!}=\operatorname {Ass} }
이에 따라, 다음과 같은 동치가 존재한다.
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
K
{\displaystyle K}
결합 대수 )는
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
리 초대수 )와 동치이다.
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
K
{\displaystyle K}
결합 대수 )는
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
K
{\displaystyle K}
리 대수 )와 동치이다.이차 결합 대수 / 이차 결합 초대수
편집
결합 오퍼라드
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
모노이드 범주 의 구조만 사용되며, 대칭 모노이드 범주 의 구조는 필요없다. 따라서,
Ass
{\displaystyle \operatorname {Ass} }
동치 이다.
이 경우, 그 위의 이차 대수는 임의의 벡터 공간
V
=
⨁
i
∈
Z
V
i
{\displaystyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }V_{i}}
으로 생성되는 텐서 대수
T
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V)}
및
R
⊆
V
⊗
V
{\displaystyle R\subseteq V\otimes V}
에 대한 몫 대수
T
(
V
)
/
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V)/(R)}
이다. (즉,
V
∖
{
0
}
{\displaystyle V\setminus \{0\}}
R
⊥
=
{
ϕ
∈
(
V
∗
)
⊗
K
2
:
ϕ
(
r
)
=
0
∀
r
∈
R
}
⊆
(
V
∗
)
⊗
K
2
{\displaystyle R^{\perp }=\{\phi \in (V^{*})^{\otimes _{K}2}\colon \phi (r)=0\;\forall r\in R\}\subseteq (V^{*})^{\otimes _{K}2}}
에 대한 몫
T
(
V
∗
)
/
(
R
⊥
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V^{*})/(R^{\perp })}
이다. 여기서
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
쌍대 공간 이다.
이 경우가 장루이 코쥘 이 발견한 고전적인 코쥘 쌍대성이다.
특히, 만약
R
±
(
V
)
=
{
u
⊗
v
∓
v
⊗
u
:
u
,
v
∈
V
}
{\displaystyle R_{\pm }(V)=\{u\otimes v\mp v\otimes u\colon u,v\in V\}}
인 경우를 생각하자. 그렇다면,
(
R
±
(
V
)
)
⊥
=
R
∓
(
V
∗
)
{\displaystyle (R_{\pm }(V))^{\perp }=R_{\mp }(V^{*})}
이다. 이에 따라,
Sym
(
V
)
!
=
⋀
(
V
∗
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (V)^{!}=\bigwedge (V^{*})}
⋀
(
V
)
!
=
Sym
(
V
∗
)
{\displaystyle \bigwedge (V)^{!}=\operatorname {Sym} (V^{*})}
이다. 즉, 코쥘 쌍대성은 대칭 대수 와 외대수 사이의 쌍대성을 정의한다.
이차 가환 대수 / 이차 리 초대수
편집
가환 오퍼라드
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
오퍼라드
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
이 경우,
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
대칭 대수
Sym
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (V)}
및
R
⊆
Sym
2
(
V
)
{\displaystyle R\subseteq \operatorname {Sym} ^{2}(V)}
에 대한 몫
B
=
Sym
(
V
)
/
R
{\displaystyle B=\operatorname {Sym} (V)/R}
이다. 이는 가환환 이다.
이에 대응되는 쌍대 초대수는 다음과 같다.[1] :(2.3.9b)
B
{\displaystyle B}
B
!
{\displaystyle B^{!}}
호프 대수 의 구조를 가지며, 따라서 어떤 정수 등급 리 초대수
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
보편 포락 대수 로 표현된다.
B
!
≅
U
(
b
)
{\displaystyle B^{!}\cong \operatorname {U} ({\mathfrak {b}})}
이 등급 리 초대수 는
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
오퍼라드 위의 이차 초대수를 이룬다. 특히, 이는 등급 1의 원소만으로 생성된다.
이차 가환 초대수 / 이차 리 대수
편집
리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
보편 포락 대수
U
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
결합 대수 로 여겨 그 코쥘 쌍대 대수
U
(
g
)
!
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{!}}
를 취하자. 그렇다면, 이는 등급 1의 생성원들로 생성되는 등급 가환 등급 대수 임을 보일 수 있다.
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
외대수
⋀
(
V
)
{\displaystyle \bigwedge (V)}
의,
R
⊆
⋀
2
(
V
)
{\displaystyle R\subseteq \bigwedge ^{2}(V)}
에 대한 몫 대수
⋀
(
V
)
/
R
{\displaystyle \bigwedge (V)/R}
이다. 그렇다면, 완전열
R
⊥
⊆
⋀
2
(
V
∗
)
{\displaystyle R^{\perp }\subseteq \bigwedge ^{2}(V^{*})}
이므로, 이는
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
자유 리 대수 의 리 대수 아이디얼 을 생성한다. 따라서, 그 몫 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 정수 등급을 갖는다. 이는
Com
{\displaystyle \operatorname {Com} }
Lie
{\displaystyle \operatorname {Lie} }
L∞-대수
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예를 들어,
P
=
Lie
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\operatorname {Lie} }
L∞-대수 이다. 이 경우, L∞-대수 의 구조는 자유 등급 가환 대수 위의 미분 연산으로 주어진다.
마찬가지로,
P
=
Com
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\operatorname {Com} }
결합 법칙 이 호모토피 아래 성립하는 대수 구조이다. 이 구조는 마찬가지로 등급 벡터 공간 위의 자유 리 초대수 위의 미분 등급 리 대수 구조로 주어진다.
장루이 코쥘 의 이름을 땄다. 코쥘 쌍대성의 오퍼라드 를 통한 공식화는 빅토르 긴즈부르크(러시아어 : Виктор Гинзбург )와 미하일 카프라노프(러시아어 : Михаил Капранов )가 1994년에 도입하였다.[1]
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701dbe4c6a942a7c5a23a0a042bcd9d7a95d2dae)
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])\to \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e27bafdc8cd35654b8b229a98891b06585b49b2)
![{\displaystyle \mathrm {d} \mu (a,b)=\mu (\mathrm {d} a,b)+(-)^{\deg a}\mu (a,\mathrm {d} b)\qquad \forall \mu \in {\mathcal {P}}(2),\;a,b\in \operatorname {Free} _{{\mathcal {P}}^{!}}(A^{*}[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04deae8eb8aaedf3ff8c381511f097a4e1707fe0)
![{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x_{1},x_{2}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a25285a58c388aef01fc4223e2ac7286daa9cf)
![{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x,[y,z]],[y,[z,x]],[z,[x,y]]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66dee05b4600a4a0887367ce135c08cc92cb2ed)
![{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\{[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ea30e81c919480e1a4db1b89949a854fe4ddb1)
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