쾨니그의 정리 (집합론)

집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.

정의

집합 $I$ 및 기수의 집합 $\{\kappa _{i}\}_{i\in I}$, $\{\lambda _{i}\}_{i\in I}$가 주어졌고, 또한 모든 $i\in I$에 대하여

$\kappa _{i}<\lambda _{i}$

라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$\sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}$

따름정리

쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.

칸토어의 정리

 이 부분의 본문은 칸토어의 정리입니다.

$\kappa _{i}=1$이며 $\lambda _{i}=2$라고 하자. 그렇다면

$|I|<2^{|I|}$

이다. 이는 칸토어의 정리다.

선택 공리

 이 부분의 본문은 선택 공리입니다.

$\kappa _{i}=0$이고, $\lambda _{i}$가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면

$0<\prod _{i\in I}\lambda _{i}$

이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.

공종도의 지수

$I$가 어떤 무한 기수 $\mu \geq \aleph _{0}$의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, $\kappa _{i}=|i|$로 놓고, $\lambda _{i}=\mu$라고 하자. 그렇다면

$\mu =\left|\bigcup _{i\in I}i\right|\leq \sum _{i\in I}|i|<\mu ^{|I|}=\mu ^{\operatorname {cf} \mu }$

이다. 즉, 무한 기수 $\mu$에 대하여

$\mu <\mu ^{\operatorname {cf} \mu }{\stackrel {\text{def}}{=}}\gimel (\mu )$

이다. 여기서 $\gimel (\mu )$를 기멜 함수라고 한다.

공종도의 하한

어떤 무한 기수 $\kappa \geq \aleph _{0}$와 기수 $\lambda \geq 2$에 대하여, 항상

$\kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })$

이다.

증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라

$\left(\lambda ^{\kappa }\right)^{\kappa }=\lambda ^{\kappa }<\left(\lambda ^{\kappa }\right)^{\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })}$

이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서

$\kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })$

이다.

증명

집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}$와 $\{B_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌고, 임의의 $i\in I$에 대하여 전사 함수

$A_{i}\twoheadrightarrow B_{i}$

가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수

$f\colon \bigsqcup _{i\in I}A_{i}\twoheadrightarrow \prod _{i\in I}B_{i}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $f$가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.

사영 함수

$\sigma _{i}\colon A_{i}\hookrightarrow \bigsqcup _{i\in I}A_{i}$

$\pi _{i}\colon \prod _{i\in I}B_{i}\twoheadrightarrow B_{i}$

를 정의하여,

$f_{i}=\pi _{i}\circ f\circ \sigma _{i}\colon A_{i}\to B_{i}$

를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,

$b_{i}\in B_{i}\setminus f_{i}(A_{i})$

를 고르자. 그렇다면

$(b_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}B_{i}\setminus f\left(\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\right)$

이므로, $f$는 전사 함수가 아니다.

역사

헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.