파레토 분포

통계학에서 파레토 분포(Pareto分布, 영어: Pareto distribution)는 사회과학에서 널리 볼 수 있는 확률분포이다.

파레토 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	xm > 0 scale (real) α > 0 shape
지지집합	$x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )$
확률 밀도	${\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x\geq x_{m}$
누적 분포	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }{\text{ for }}x\geq x_{m}$
기댓값	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}$
최빈값	$x_{\mathrm {m} }$
분산	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}$
비대칭도	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3$
첨도	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4$
엔트로피	$\ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1$
적률생성함수	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0$
특성함수	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$

정의

파레토 분포는 다음 성질을 만족시키는 확률변수 $X$가 따르는 확률분포이다.

$\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} }\end{cases}}$

즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수 $x_{\text{m}},\alpha$를 가진다. $x_{m}>0$은 $X$의 최솟값이고, $\alpha >0$은 파레토 지표라는 매개변수이다. $\alpha$가 더 크다면 이 분포는 더 큰 불평등을 나타낸다. 즉, $\alpha$가 0에 가까울 수록 더 균등분포에 가깝고, 반대로 $\alpha$가 더 클 수록 디랙 델타 함수에 가까워진다.

응용

빌프레도 파레토는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 (파레토 법칙), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.

참고 문헌

• M. O. Lorenz (1905). “Methods of measuring the concentration of wealth”. 《Publications of the American Statistical Association》 9 (70): 209–219. Bibcode:1905PAmSA...9..209L. doi:10.2307/2276207. 
• Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Originally published in 1896). In: Busino G, editor. Oevres Completes de Vilfredo Pareto. Geneva: Librairie Droz. pp. 1–5.
• Pareto, V. (1895). La legge della domanda. Giornale degli Economisti, 10, 59–68. English translation in Rivista di Politica Economica, 87 (1997), 691–700.
• Pareto, V. (1897). Cours d'économie politique. Lausanne: Ed. Rouge.

같이 보기

• 파레토 최적

외부 링크

• “Pareto distribution”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pareto distribution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.