포화 집합

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일반위상수학에서, 포화 집합(영어: saturated set)은 (임의의 수의) 열린집합들의 교집합인 부분 집합이다.

정의

위상 공간 $(X,\operatorname {Open} (X))$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 포화화(영어: saturation) $\operatorname {sat} (S)$는 $S$의 모든 근방들의 교집합이다.

$\operatorname {sat} (S)=\bigcap {\mathcal {N}}_{S}$

여기서 ${\mathcal {N}}_{S}$는 $S$의 근방 필터이다. 이 정의에서 ${\mathcal {N}}_{S}$는 $S$의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 $(X,\operatorname {Open} (X))$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $S$를 포화 집합이라고 한다.

• (열린집합들의 교집합) $S=\bigcap {\mathcal {U}}$인 열린집합들의 집합 ${\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$가 존재한다.
• (스스로의 포화화와 일치) $\textstyle S=\operatorname {sat} (S)$

위상 공간 $(X,\operatorname {Open} (X))$의 부분 집합 $S\subseteq X$가 다음 조건을 만족시키면, 재귀 집합(영어: recurrent set)이라고 한다.

• (모든 포화 집합과 겹침) $S\cap T=\varnothing$인 포화 집합 $T\subseteq X$은 공집합밖에 없다.

성질

함의 관계

정의에 따라, 모든 G_δ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.

콤팩트 공간과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $S$는 콤팩트 집합이다.
• 포화화 $\operatorname {sat} (S)$는 콤팩트 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 점 $x\in X$는 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• 모든 점 $x\in X$는 콤팩트 포화 국소 기저를 갖는다.

차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.^{:381, Theorem 2.28}

베르 공간과의 관계

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 베르 공간이다.
• 모든 재귀 집합은 베르 공간이다.
• 베르 재귀 집합을 갖는다.

예

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
• 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
• T1 공간이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:380

• $X$ 위에 스콧 위상을 가하였을 때, $S$는 포화 집합이다.
• $S$는 상집합이다.

증명:

스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 $S$가 상집합이라면,

$S=\bigcap _{x\in X\setminus S}X\setminus \mathop {\downarrow } x$

이며, 각 $X\setminus \mathop {\downarrow } x$는 스콧 열린집합이다.

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 $\max X\subseteq X$은 재귀 집합을 이룬다.^{:397, Proposition 5.6}

외부 링크

• “Saturated set”. 《nLab》 (영어).