회전수

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위상수학에서 회전수(回轉數, 영어: rotation number)는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

정의

실직선의 자기 위상 동형 $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$F(x+n)=F(x)+n\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

이라고 하자. 그렇다면, $F$의 회전수 $\omega (F)$는 다음과 같다.

$\omega (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}\in \mathbb {R}$

여기서

$F^{n}=\overbrace {F\circ \cdots \circ F} ^{n}$

이다. 이 극한은 항상 존재하며, $x\in \mathbb {R}$에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

$F$의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 $f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$을 정의할 수 있다. 이 경우, $f$의 회전수 $\omega (f)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$는 $F$의 회전수와 같다. 이 경우, $F$와 $n+F$는 같은 $f$에 대응하지만 회전수가 정수 $n$만큼 다르므로, $f$의 회전수는 $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$의 원소이다. 예를 들어, $\omega (x\mapsto x+\theta )=\theta$이다.

성질

회전수 $\omega$는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 $\operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})$에서 원군 $\mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$으로 가는 군 준동형이다. 만약 $\operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})$에 ${\mathcal {C}}^{0}$ 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 $f,g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ 및 연속 함수 $h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$에 대하여, 만약

$h\circ f=g\circ h$

라면

$\omega (f)=\omega (g)$

이다.

원의 자기 위상 동형의 분류

앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 $f$들을 다음과 같이 분류하였다.

• 1. 만약 $f$의 회전수가 유리수 $\omega (f)=p/q$라면 ($\gcd\{p,q\}=1$), $f$는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, $f$의 모든 주기적 궤도의 주기는 $q$이다. 또한, $f$의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, $f$에서 수렴하는 주기적 궤도와 $f^{-1}$에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
• 2. 만약 $f$의 회전수가 무리수라면, $f$는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
  • 2(a). $f$는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, $f=g\circ (x\mapsto x+\omega (f))\circ g^{-1}$인 방향 보존 위상 동형 $g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
  • 2(b). $f$의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, $f(C)=C$인 칸토어 집합 $C\subset \mathbb {S} ^{1}$가 존재한다. 이 경우, $f$의 모든 궤도는 $C$에 수렴하며, 마찬가지로 $f^{-1}$의 모든 궤도 역시 $C$에 수렴한다. 이 경우, $h\circ f=(x\mapsto x+\omega (f))\circ h$가 되는 연속 함수 $h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$가 존재하며, $h$는 $\mathbb {S} ^{1}\setminus C$의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.

또한, 만약 $f$가 ${\mathcal {C}}^{2}$ 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.)

참고 문헌

• Misiurewicz, Michał (2007). “Rotation theory”. 《Scholarpedia》 (영어) 2 (10): 3873. doi:10.4249/scholarpedia.3873. ISSN 1941-6016. 
• Herman, Michael R. (1979). “Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 49: 5–234. doi:10.1007/BF02684798. ISSN 0073-8301. MR 0538680. Zbl 0448.58019. 
• Ruelle, David (1985). “Rotation numbers for diffeomorphisms and flows”. 《Annales de l’Institut Henri Poincaré A: physique théorique》 (영어) 42 (1): 109–115. ISSN 0020-2339. MR 794367. Zbl 0556.58026. 
• Wayne, C. Eugene (1996). 〈An introduction to KAM theory〉 (PDF). 《Dynamical systems and probabilistic methods in partial differential equations》. Lectures in Applied Mathematics (영어) 31. American Mathematical Society. 29쪽. ISBN 978-0-8218-0368-4. 

외부 링크

• “Differential equations on a torus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rotation number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Map winding number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.