가군의 길이

환론에서, 가군의 길이(영어: length)는 가군의 크기를 나타내는 측도이며, 벡터 공간의 차원의 일반화이다.

정의

부분 순서 집합 $(P,\leq )$의 길이 $\operatorname {length} P$는 $P$의 부분 집합 가운데 전순서 집합인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다.

$\operatorname {length} P=\sup \left\{n\colon x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n},\;\{x_{0},\dots ,x_{n}\}\subseteq P\right\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,\infty \}$

$R$가 (곱셈 항등원을 갖는) 환이라고 하고, $M$이 $R$의 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 $M$의 길이는 $M$의 부분 가군의 격자 $\operatorname {Sub} (M)$의 길이이다.

$\operatorname {length} M=\operatorname {length} \operatorname {Sub} (M)=\sup\{n\colon 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,\infty \}$

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 대상 $M\in {\mathcal {A}}$의 길이는 $M$의 부분 대상 격자 $\operatorname {Sub} (M)$의 길이이다.

예

길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다.

$R$에 대한 왼쪽 가군의 짧은 완전열

$0\to L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow N\to 0$

이 있다고 하자. 그렇다면

$\operatorname {length} L+\operatorname {length} N=\operatorname {length} M$

이다.

체 $K$에 대한 유한 차원 벡터 공간 $V$의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.)

외부 링크

• “Length of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Module length”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Object of finite length”. 《nLab》 (영어).