겔폰트-슈나이더 정리

겔폰트-슈나이더 정리(Gelfond-Schneider theorem, -定理)는 특정한 대수적 수의 조합이 초월수라는 것을 의미하는 대수적 수론정리이다.

역사

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소련수학자알렉산드르 겔폰트, 독일의 수학자인 테오도어 슈나이더가 1934년에 독립적으로 증명하였다.[1][2] 이 정리는 힐베르트의 7번째 문제가 긍정적으로 해결하는 역할을 한다.

공식화와 응용

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ab대수적 수이고 a ≠ 0, log a ≠ 0이며 b무리수이면 ab초월수가 된다.

로그에 대한 등가 공식(로그의 밑이 임의로 선택됨)은 다음과 같다.[3]

  • 만약 a, b가 0이나 1과 같지 않은 대수적 수라면  는 유리수이거나 초월수이다.
  • 만약  가 유리수에 대해 선형으로 독립적이라면 그들은 대수적 수에도 선형으로 독립적이다.

설명

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  • ab의 값은 실수에 제한되지 않으며 복소수도 허용된다. (여기서 복소수는 실수부와 허수부 모두 실수일지라도 0이 아닌 허수부 가질 때 실수로 간주되지 않는다.)
  • 일반적으로 ab = exp(b log a)다가 함수이며 여기서 로그는 복소수 로그를 나타낸다. 이것은 정리의 진술에서 "임의의 값"이라는 구절을 설명한다.
  • 정리의 등가 공식은 다음과 같다: αγ가 0이 아닌 대수적 수이고 우리가 α의 0이 아닌 로그들을 취한다면 (log γ)/(log α)는 유리수 또는 초월수이다. 이것은 만약 log α, log γ가 유리수들에 대해 일차 독립 집합이면 대수적 수들에 대해 선형적으로 독립적인 로그라고 말하는 것으로 표현할 수 있다. 이 문장이 몇 개의 대수적 수의 로그에서 보다 일반적인 선형으로 일반화되는 것은 초월수 이론의 영역에 있다.
  • ab가 대수라는 제한이 제거되면 일반적으로 문장은 참으로 유지되지 않는다. 예를 들어  라고 가정하자. 여기서 a22이며 이는 (정리 자체에서 증명된) 대수적이라기보다는 초월적이다. 마찬가지로 a = 3b = (log 2)/(log 3)가 초월적이라면 ab = 2는 대수적이라고 말할 수 있다. 초월수 ab을 생성하는 ab에 대한 값의 특성화는 알려져 있지 않다.
  • 쿠르트 말러는 이러한 정리의 p진수 유사성을 다음과 같이 증명했다: abCp에 있고 Qp의 대수적 폐포의 완비이며 Q에 대해 대수적이라면   and   then  이다. 여기서  p진수 지수 함수이다.

필연적인 결과

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다음 숫자의 초월은 그 정리로부터 즉시 뒤따른다.

  • 겔폰트-슈나이더 상수  와 제곱근  
  • 겔폰트 정수  
  •  

같이 보기

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각주

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  1. Aleksandr Gelfond (1934년). “Sur le septième Problème de Hilbert”. 《Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na》 (프랑스어) VII (4): 623–634. 
  2. Theodor Schneider. “Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen”. 《J. Reine Angew. Math.》 (독일어) 172 (1935): 65-69. doi:10.1515/crll.1935.172.65. 
  3. Фельдман Н. (2017년 8월 9일). “Алгебраические и трансцендентные числа”. 

참고 문헌

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  • Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, page 10
  • Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), Transcendental numbers, Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61467-2, MR1603604
  • Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendental and algebraic numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, MR0057921

외부 링크

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