대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, 영어: algebraically independent set)은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 부분 집합이다.

정의

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 부분환  가 주어졌다고 하자. (즉,  체의 확대이다.)

 부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 (정의에 따라) 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을  에 대한 대수적 독립 집합이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  로 생성되는 체  를 생각한다면,   초월원이다.
  • 임의의 자연수   및 다항식   에 대하여, 만약  이라면,   가 존재하거나,  이다.

성질

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 에 대한 대수적 독립 유한 집합  가 주어졌으며,   에 대하여 선형 독립 집합이라고 하자. 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstraß定理, 영어: Lindemann–Weierstrass theorem)에 따르면,   역시  에 대한 대수적 독립 집합이다.

체의 확대   속에서, 정의에 따라, 한원소 집합  이 대수적 독립 집합일 필요 충분 조건 초월수인 것이다.

 에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이다.

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 에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이 아니다.

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  •  . 예를 들어,  에 대하여  이다.
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  • 임의의 양의 정수  에 대하여,  

2018년 기준으로,  에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합인지 여부가 알려지지 않았다.

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역사

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린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스가 1885년에 증명하였다.[1]

참고 문헌

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  1. Weierstraß, Karl (1885). “Zu Lindemann’s Abhandlung “Über die Ludolph’sche Zahl””. 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin》 (독일어) 5: 1067–1085. 

외부 링크

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