계수-퇴화차수 정리

선형대수학에서, 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬차원의 관계에 대한 정리이다.

계수-퇴화차수 정리의 시각적 표현

정의편집

선형 변환  정의역  유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

 

여기서  차원이며,   이며,   이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

 

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

 

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[1]:71

 

증명편집

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간제1 동형 정리

 

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.[1]:71  이라고 하자.  의 기저  ( )를 취한 뒤, 이를 확장하여  의 기저  을 만들자. 정리를 증명하려면,   의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

  •  선형 독립이다.
    • 증명:  이며  라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라  이며,  의 정의에 따라  이다.   의 기저이므로,   가 존재한다. 따라서,  인데,   의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서  이며, 특히  이다.
  •   선형 생성한다.
    • 증명:  라고 하자. 그렇다면,  의 정의에 따라   가 존재한다. 이  는 기저  의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉,   가 존재한다. 따라서  인데,  이므로,  이다. 즉,  이다. 즉, 임의의   의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

이에 따라,   의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

참고 문헌편집

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집