상 (수학)

수학에서 상(像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage) 또는 역상(逆像, 영어: inverse image)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의

정의역이 $X$, 공역이 $Y$인 함수 $f\colon X\to Y$를 생각하자.

정의역의 원소 $x\in X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 원소

$f(x)\in Y$

이다. 정의역의 부분 집합 $A\subseteq X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 부분 집합

$f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y$

이다.

공역의 원소 $y\in Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X$

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자.

공역의 부분 집합 $B\subseteq Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X$

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상	원상
$f(A)$	$f^{-1}(B)$
$f[A]$	$f^{-1}[B]$
$f_{*}(A)$	$f^{*}(B)$
$f^{\rightarrow }(A)$	$f^{\leftarrow }(B)$

성질

함수 $f\colon X\to Y$ 및 정의역의 부분 집합들 $A,A',A_{i}\subseteq X$ 및 공역의 부분 집합들 $B,B',B_{j}\subseteq Y$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\textstyle f(\bigcup _{i\in I}A_{i})=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$
• $\textstyle f(\bigcap _{i\in I}A_{i})\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$
• $f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')$
• $\textstyle f^{-1}(\bigcup _{j\in J}B_{j})=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)$
• $\textstyle f^{-1}(\bigcap _{j\in J}B_{j})=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)$
• $f^{-1}\left(B\setminus B'\right)=f^{-1}\left(B\right)\setminus f^{-1}\left(B'\right)$
• $f^{-1}(f(A))\supseteq A$
• $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
• $A\subseteq A'$라면, $f(A)\subseteq f(A')$
• $B\subseteq B'$라면, $f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Direct image”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inverse image”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Image”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Preimage”. 《ProofWiki》 (영어).