곱의 법칙 (미적분학)

미적분학에서, 곱의 규칙(영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.

정의편집

실변수 실숫값 함수의 경우편집

만약 두 함수   에서 미분 가능하다면,   역시  에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

 

이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

 

선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

 

만약 함수   에서 미분 가능하다면,   에서의 미분은 다음과 같다.

 

보다 일반적으로, 만약   계 도함수를 갖는다면,   역시  계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

 

만약   계 도함수를 갖는다면,   계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

 

다변수 벡터값 함수의 경우편집

두 함수   에서 변수  에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면   역시 그러하며, 그  에 대한 편미분은 다음과 같다.

 

증명편집

함수 f를  로 정의한다. 이때  도함수의 정의에 따라 구하면,

 
 
 
 
 

여기에서   에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

 

따라서 다음의 결과가 나온다.